重心の軌跡

質問

定直線Ｌと定線分ＡＢがある。
点ＰがＬ上を動くとき、△ＰＡＢの重心Ｇの軌跡を求めよ。

この問題を考えているのですが、根本的に軌跡の考え方を教えていただきたいです。

それと、回答の一文に、「直線ＡＢ上にＰがある時三角形は作れないので、直線ＡＢとｇ(Ｌと平行な直線)の交点があれば、その点を除く」
となあるのですが、どうゆうことですか？

以上の二つを是非とも教えていただきたいです。指導の程よろしくお願いします。

回答No.4

naniwacchi · ベストアンサー

扱う分野が何か（座標なのか、ベクトルなのかなど）にもよると思いますが、
問題自体が抽象的（具体的な座標がない）なのでベクトルで考えてみます。

点Ａ、Ｂの位置ベクトルをａ→、ｂ→と表します。
また、直線ＬについてはＬ上のある点Ｃ（ｃ→）と方向ベクトルｖ→を用いて表すことにします。
すると、ｐ→＝ｃ→＋ｋ*ｖ→ （kは実数）となります。

３点Ａ，Ｂ，Ｐの重心は、
(ａ→＋ｂ→＋ｐ→)/3 ＝ (ａ→＋ｂ→＋ｃ→)/3＋ｋ/3*ｖ→
と表されます。
重心はｖ→に平行に、つまり直線Ｌに平行に動くことになります。

直線ＡＢ（線分ＡＢの延長したもの！）と直線Ｌとが交わるような点ＰはＰＡＢが三角形をなさなくなるので除外されることになります。
仮にそのときの「重心」は？となると、直線ＡＢと上記の軌跡（直線Ｌに平行な直線）の交点となるので、それは除外ということになります。

回答No.3

gohtraw

二つ目の方はNo.1の方のおっしゃる通りですね。
軌跡の考え方ですが、点Ｇの座標を（ｘｇ、ｙｇ）とした時にｘｇとｙｇの関係を示すことができればそれが軌跡です。手順としては
（１）点Ａ、Ｂの座標をそれぞれ（ｘａ、ｙａ）、（ｘｂ、ｙｂ）とおく
（２）直線Ｌの式をｙ＝αｘ＋βとおく
（３）重心の定義に従い、点Ｐの座標をｘａ、ｙａ、ｘｂ、ｙｂ、ｘｇ、ｙｇで表す
（４）点ＰはＬ上にあるので、（３）で表した点Ｐの座標をｙ＝αｘ＋βに代入する
とすればｘｇとｙｇの関係を示すことができます。因みに重心の定義は
「三角形の頂点とその対辺の中点を結ぶ 3 つの線分は 1 点で交わる。この点のことを重心という。また、それぞれの線分を中線といい、重心は中線を 1 : 2 の比で分割する。」

回答No.2

sono0315

図が載りませんでした

回答No.1

sono0315

2つ目のほうは
直線ABと直線Lの交点となるところの直線L上の点にP
があるときは三角形PABが作れないということです。
図のP"の位置のとき

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