重力と時間

質問

重力が強い所では光は赤方偏移し、外からは時間がゆっくり進んでいるようにみえるらしいのですが、どうして重力が強い所では光は引き延ばされるのですか？
　また、なぜ光のその変化が時間と関係してくるのですか？

回答No.7

guiter · ベストアンサー

このまま数式を使った説明でいいのか少し心配なのですが、、、
もし困るなら質問者の nom さん補足をお願いします。

＞Δτ2/Δτ1＝√(1-(v/c)^2)＜１
＞のところですが、これは　Δτ2＜Δτ1　ってことですよね？
＞これは、Ｐ２での時間の進みが早いって意味になるような気がするのですが、
の部分に関してですが、例えば v = 0.8 c のとき
　Δτ2＝ 0.6 Δτ1
のようになるので、点 P1 が１秒進んだとき(Δτ1＝１)に
点 P2 は 0.6 秒進む(Δτ2＝0.6)ことになります。

＞Δτ ＝Δｔ1＝Δｔ2√(1-(v/c)^2)
＞となり、Δｔ1/Δｔ2＜１、すなわち、Δｔ1＜Δｔ2、となるような気がするのですが・・・
下の私の説明は少し言葉不足でしたね。
いまは、点P1 と点 P2 の固有時を直接比較できないので
自由落下する箱を使って説明しました。
自分自身は箱とともに動いていると思ってください。
このとき、自分にとって箱の中の時計は一定のリズムで時を刻みつづけます。
そこで、ある時刻（自分のそばに点 P1 がある）に点 P1 をみると
相対速度が０なので
　Δτ1 ＝Δτ3
が成り立ちます。
次が注意が必要ですが、一定のリズムで時を刻む箱の中の時計を用いて点 P2 の時間経過を見るので、
箱の速度を０、点 P2 の速度を v として式を考えます。
（止まっている自分自身の前を点 P2 が通り過ぎていくと考えます。）
自由落下という言葉が箱を止めると考えにくかったですね。
このように考えると
　Δτ2 ＝Δτ3√(1-(v/c)^2)
が成り立ちます。
箱から点 P2 をみるとこの式が成り立つのに対し、点 P2 から箱を見ると
　Δτ3 ＝Δτ2√(1-(v/c)^2)
という式が成り立ちます。（添え字の２と３が入れ替わっています。）
互いに相手の時間がゆっくり進んでいるように見えるということです。
まさに、”相対性”理論ですね。

＞「光が曲がる」＝「屈折する」という論理で、屈折率が大きくなると考えたのですが・・・。
物質が１でない屈折率を持つのは光と物質の相互作用によるのと同様に
光と重力場の相互作用により（重力の作用している）真空が１でない屈折率を持つ。
というように考えることも可能だと思います。

＞重力場に近づく光は青方偏移になるのでしょうけど
そうなりますね。私の専門は宇宙物理ではないのでそれほど詳しいわけではないですが、
少なくとも辞典には blue shift（青方偏移）と言う単語は載っています。

＞重力ポテンシャルφ（ｒ）の場所では、固有時間は
＞　√（１＋２φ/ｃ＾２）
＞に比例するらしいです。
この式は少し近似が入ってますね。
まず、エネルギー保存則
　√( (mc^2)^2 + (pc)^2 ) ＋ mφ2 ＝　mc^2 ＋ mφ1　　（P1にいるとき v=0）
を考えます。
ここで v/c << 1 の近似を用いると Newton 近似になり
高校物理でも出てくる次のような形になります。
　(1/2)mv^2 + mφ2 ＝ mφ1
重力ポテンシャルの基準を点 P1 にとると（φ1＝０、φ2＝φ）
　(v/c)^2 ＝ －２φ/c^2
が得られます。これを前回の私の回答にある
　Δτ2/Δτ1＝√(1-(v/c)^2)
という式に代入することで
　Δτ2＝Δτ1√(1+2φ/c^2)
のように、重力ポテンシャルφの点(今の例ではP2)での固有時は
重力ポテンシャルの基準点(今の例では点P1)の固有時に対して
√(1+2φ/c^2) という比例係数を持つことがわかります。