車のレッカー移動でレッカー員によりエンジン損傷しましたが損害請求は可能でしょうか？

質問

損害について請求できるでしょうか。
自動車の任意保険に付帯する無料レッカーサービスを利用しました。
１．車が約４０ｋｍで市街地を走行中にエンジンが停止し、惰性で路肩に停車。
２．何度セルを回しても、通常のセル音だけでエンジンは始動せず。
３．「エンジンがかからない」として、保険会社にレッカーを依頼。
４．約１時間後にレッカー車が到着したとき、もう一度始動を試みたが、
　　やはり通常のセル音だけでエンジンは始動せず。
５．車を降り、レッカー作業員に搬送先等を説明。
６．レッカー作業員が乗車し、始動を試みたそのとき、
　　３～５秒間通常のセル音、その後１～２秒プスプスとエンジンがかかりそうな音、
　　その後エンジンから大きな金属音…。
　　エンジンがかからないだけだったのに、初めて間違いなく何かが壊れた音。
　　「エンジンをかけてみていいか」とは聞かれなかった。
７．レッカー作業員はレッカー車の電動ウィンチで引き上げ、
　　依頼した車の購入店兼工場へ搬送。
８．車の購入店兼工場から連絡あり。
　　(1)エンジンが停止してかからなかったのは、
　　　タイミングチェーンが緩んで点火タイミングがずれたため。
　　　（通常のセル音だけで、始動はしないしない状態）
　　(2)大きな金属音がしたのは、タイミングチェーンが切れ、
　　　エンジン内を損傷したため。
　　　給排気バルブが曲がったため交換が必要。
　　　（偶然だが、大きな損傷を起こしたのはレッカー作業員）
９．保険会社に相談したら、保障責任はレッカー会社とのこと。
　　レッカー会社によれば、始動試行は通常作業であり、
　　「不可抗力」のため保障できないとのこと。
（愚痴ですが…）
　５月に車検が終わり（金欠）、
　１～２週間したらバックにトルクがかからなくなり、
　クラッチが滑っているとのことで修理＋オーバーホールし（金欠）、
　やっと戻った１週間後に起きました。
　また修理費がかかると思うと…。

回答No.5

W140pyon

先述の事情により、回答欄ですが質問者です。

任意保険会社と電話で相当交渉しましたが、
損害の補償はレッカー会社側という契約だそうで、
仲介的発言ばかりでした。
私の契約相手は任意保険会社なので、
主体的な判断を求めましたが、
車の状態を第三者であるディーラーに見てもらうために、
預かりたいとのことでした。
しかし搬送費用とディーラー費用は、
私とレッカー会社の負担との主張であり、
「自分は何の判断もしないし１円も払わない」
という姿勢が貫かれています。
修理工場ではエンジンが開いた状態で修理ストップしており、
仕方なく今夕、レッカー会社の人と現物確認で会うことになりました。
見てもらった後はすぐにでも修理を再開したいため、
デジカメを持ってきて写真を撮るよう言ってあります。
レッカー会社の保険加入を確認したところ加入はしており、
自分たちに過失があれば金額次第で保険を使うとは言っていますが、
まず過失を認めるかどうかの話だと思っています。