- ベストアンサー
基底・正規直交基底に関する問題
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
(1) f(V1),…,f(Vn)がR^nの基底なら、 V1 = b11*f(V1) + b12*f(V2) + … + b1n*f(Vn) … Vn = bn1*f(V1) + bn2*f(V2) + … + bnn*f(Vn) と書けます。 このとき、B = (bij) とすると、 BA*Vk = Vk （k=1,2,…,n)が成り立つことが言えるでしょう。 つまり、BはAの逆行列です。 (2) (1)と考え方はほとんど同じです。
関連するQ&A
- 正規直交基底を持つ行列
以下の問題についてどなたか教えていただけないでしょうか。 試しに具体的な正規直交基底の行列で計算してみたのですが、分かりませんでした。 ご回答いただけると嬉しいです。 {q_i ∈ R^n}[i=1,n]を正規直交基底とするとき、行列 A = a_1 q_1 q_1^T + a_2 q_2 q_2^T + ... + a_n q_n q_n^T, a_i ∈ R^1 について、全ての固有値と固有ベクトルを求めよ。 （"_1"は1という下付文字、"^1"は1という上付文字です。）
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 正規直交基底について
正規直交基底を列ベクトルにして正方行列を作ると、直交行列になりますが、 この時、行ベクトルの組も正規直交基底になっていることはどう証明すればよいのでしょうか？
- 締切済み
- 数学・算数
- 正規直交基底の存在性
計量ベクトル空間の正規直交基底の存在性についてです． 証明の手順は以下のようにやろうと考えています． 計量ベクトル空間V，dimV=n ⇒線形独立な集合Aが存在する(1) ⇒Vの基底E:={ei}(i=1,2,...n)が存在する(2) （Aにいくつかベクトルを足すことで構成する） ⇒Vに正規直交系E':={ei'}}(i=1,2,...n)が存在する(3) （Eにシュミットの直交化法を施す） ⇒E'はVの基底である(4) ⇒E'はVの正規直交基底である(5) (1)⇒(2)⇒(3)は示せるのですが， (3)⇒(4)が示せません． どなたか，アドバイスなどよろしくお願いいたします．
- 締切済み
- 数学・算数
- 正規直交基底
(問題) ３つのベクトルa=(1,1,1,1) b=(1,-1,1,-1) c=(1,1,-1,-1)がある。（表記が違いますが、列ベクトルです） 1.a,b,cが互いに直交していることを示せ。 2.a,b,cの正規直交基底を求めよ。 3.a,bc,の全てに直交するベクトルを1つ求めよ。 というものなのですが。疑問点があるので答えて頂ければ幸いです。 1.の直交を示すことはそれぞれ内積a・b a・c b・ｃが0であることから示せます。（これは正しいと思います） 2.の正規直交基底なのですが、これは互いに直交しているため、それぞれの大きさを1になるように正規化すれば良く、複雑な計算は必要ないですよね？ また、問題は四次元のベクトルですが、3つだけで正規直交基底と言えるのですか？ R^4の正規直交基底と問題2が示す正規直交基底は別物ですか？ また、3で全てに直交するベクトルを1つ求めよとありますが、このベクトルを正規化すれば、 それらを全て合わせてR^4の正規直交基底ということでよろしいのですか？ ちなみに全てに直交するベクトルdは(1,-1,-1,1)となりました。 質問を煩雑に羅列してしまい申し訳ないですが解答よろしくおねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 基底ベクトル 標準基底 正規直交基底 基本ベクトル
基底ベクトルについて質問させて下さい。 基底の定義は、 V（Vは体K上の線形空間とする）のVの元であるベクトルの組｛v1,v2,v3,・・・vn｝が、 線形結合で表され、v1,v2,v3,・・・vnがそれぞれ一次独立である場合を基底という。 基底の数は無数に存在する。基底を構成するベクトルを基底ベクトルと呼ぶ。 例えばR^2の基底は、 （1,0），（0,1）や（1,0），（1,1）などである。 以上のように理解しています。 ここまでで、間違いはありますでしょうか？ R^2における基底で、 （1,0），（0,1）は特に標準基底、正規直交基底などと呼ばれます。 また、基本ベクトルと呼ばれることもあります。 このR^2における（1,0），（0,1）は一般的にはどのように呼ばれる のでしょうか？ 基本ベクトルと呼ぶのは、あまり一般的ではないでしょうか？ 標準基底・正規直交基底と呼ぶ方が一般的なのでしょうか？ 分野によって使われる言葉も違うと思いますが、ご教示下さい。 また、単位ベクトルについても教えて下さい。 単位ベクトルの定義は、ベクトルの長さ（ノルム）が1になるベクトルと理解しています。 （1,0）や（1,0,0），（0,1,0）は単位ベクトルですが、 （-1,0,0）もノルムが1のベクトルになると思います。 （-1,0,0）も単位ベクトルと言って良いのでしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 直交行列について
A~A=AA~=Iを満たすAは直交行列(~は転置 n次元の正規直交基底をn個並べたものは直交行列 とあります 正規直交基底a1,a2,,,,anを並べた行列をAとすると A~Aは各ベクトルの内積を考えることになって ノルムは1 直交するから0→単位行列だってのはわかりますが AA~は内積を考えてるわけではないです でも計算してみると内積っぽい形をしているわけで y1をa1,a2,a3...anの第一成分を並べたベクトル ynをa1,a2,a3...anの第n成分を並べたベクトル と見れば AA~はyi(i=1,2,3...n) の各内積を考えることになり これも単位行列になるんだから結局yiも正規直交基底になっています これはなんでですか？ A~A=AA~=Iだからで片付けられるとなんだか面白くないので 他に証明のやりかたあったら教えてください
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 正規直交基底に関する問いです。お願いします。
問 ?=１/3<1,2,2>を含むR³の正規直交基底を一組み構成せよ。 良く見る設定は、３次元の場合、ベクトルが３本与えられていて、そこからシュミットの直交化法を用いて、正規直交基底を作るタイプです。本問は、ベクトルが一つしか与えられてません。どのような方針で、解法はどのようになるのでしょうか？よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 任意の行列のQR分解の証明
任意の実数を成分とするn*n行列Aが直交行列Qと上三角行列RによってA=QRと分解できる事はどう証明すればいいんでしょうか？ Aが正則ならシュミットの直交化法で直交行列Qを作れますが、正則でないとAの正規直交基底がn個得られませんよね？
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
標準基底を使うと解けました。 ありがとうございます。
補足
返信遅くなってすみません。 (1)番の回答ありがとうございます。 (2)番を自分でやってみたんですが、途中で詰まって解けません。 f(V1),…,f(Vn)がR^nの正規直交基底より、 Vi = bi1*f(V1) + bi2*f(V2) + … + bin*f(Vn) f(Vi)・f(Vj) = 1 (i＝j) f(Vi)・f(Vj) = 0 (i≠j) なので、 Vi・Vj = bi1*bj1 + bi2*bj2 + … + bin*bjn ここで、V1,…,VnがR^nの正規直交基底より Vi・Vj = 1 (i＝j) Vi・Vj = 0 (i≠j) より、 bi1^2 + bi2^2 + … + bin^2 = 1 bi1*bj1 + bi2*bj2 + … + bin*bjn = 0 (i≠j) となったんですが、この先進みません。 方針そのものが間違ってるかもしれません。 教えていただけないでしょうか。