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オイラー法とホイン法の問題で質問があります
質問させていただきます 常微分方程式の初期値問題 dy/dx=y を初期値x0=0 y(x0)=y0として解く xを分点、xi=ihにとるとき、 x2での真の解y(x2)の近似解Y2をオイラー法およびホイン法を用いて それぞれh,h^2のオーダーまで求めよ。 解答には ■オイラー法 f(x,y)=y Y0=y0 Y1=Y0＋hf(x0,y0)=(1＋h)y0 Y2=Y1＋hf(x1,y1)=(1＋h)y0＋h(1＋h)y0 ≒(1＋2h)y0 ■ホイン法 Y1’=y0＋hy0=(1＋h)y0 Y1*=y0＋hY1'=(1＋h＋h^2)y0 Y1=(Y1'＋Y1*)/2=(2＋2h＋h^2)y0/2 Y2’=Y1＋hY1=(1＋h＋h^2)Y1 Y2*=Y1＋hY2'=(1＋h＋h^2)Y1 Y2=(Y2'＋Y2*)/2=(2＋2h＋h^2)y0/4≒(1＋2h＋2h^2)y0 こう書かれているのですが オイラー法の (1＋h)y0＋h(1＋h)y0 ≒(1＋2h)y0 ホイン法の (2＋2h＋h^2)y0/4≒(1＋2h＋2h^2)y0が なぜこのように近似できるのか分かりません・・・・ あと dy/dx=xy でやったら、解答はどのようになるのでしょうか？
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- tomtom_
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ホインの方法は，Y1までは合っているのですがY2'=....から間違っているので，もう少し考えてみて下さいね． オイラー法の方は，丁寧に式を展開すると (1+h)y0+h(1+h)y0 ＝y0 + h y0 + h y0 + h^2 y0 ＝y0 + 2 h y0 + h^2 y0 （ここで h^2 y0の項を省略！） ≒y0 + 2 h y0 ＝(1 + 2 h)y0 という意味です． （なぜ省略かは，ここでは書きません） ホインの方は，同様にh^3の項をサックリと消してしまうことで解が得られます． がんばって下さい．
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