特性根と行列式の関係について

質問

Aがn次の正方行列の時、Aの特性根をλ1、λ2、・・・、λnとすると、

│A│＝λ1・λ2・・・・・λn

の関係式が成り立ちますが、上式の証明方法が分かりません。
どうやら、

F(X）＝│xI－A│＝(x－λ1)(x－λ2)・・・(x－λn)

を用いて証明するようなのですが、私には分かりませんでした。

もしお分かりの方がいらっしゃいましたら、どんなことでも結構ですので、教えて頂きたく思います。

よろしくお願いいたします。

回答No.1

arrysthmia · ベストアンサー

「固有値」でなく「特性根」と呼んでいるのは、
そのこと自体が回答へのヒントなんでしょうか？

A の特性根 ⇔ A の特性方程式の解
A の特性方程式 ⇔ | xI - A | = 0
ですから、定義より、重根の重複度も込めて
│ xI - A │ = (x－λ1)(x－λ2)・・・(x－λn)
が成り立ちます。

x = 0 を代入すれば、終わり。

A が n 次正方行列、c がスカラーであるとき、
| cA | = (c^n)・| A |　であることに注意して。

お礼

ご回答ありがとうございました。

大変参考になりました。