偏微分の陰関数

質問

次の問題を教えてください。

問：次の式で定まるｘの関数ｙの導関数を求めよ。
ｙ＝ｘ＾ｙ（ｘ＞0）

与式をｙ－ｘ＾ｙ＝0　と変形し、ｘに関する偏導関数とｙに関する偏導関数を求め、陰関数定理を使うことまではわかるのですが、計算が合いません。
どなたか、ご教授お願いします。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

#2です。
補足質問の回答
>－y(x^(y－1))となったのですが、これはあっていますでしょうか？
#2に書いた式
fx(x,y)=∂(-x^y)/∂x=-(x^y)∂(ylog(x))/∂x=-(x^y)(y/x)=-y*x^(y-1)
がその計算結果と同じになっているから、合っていますよ。

>　なぜ　x^y=e^(ylog(x))…(A) に変形できるのか
両辺の自然対数をとると
ylog(x)=ylog(x)
となって等しいことが分かるでしょう。

a>0として
a^p=e^(p*log(a))
これを公式として覚えておくといいですね。

なお、陰関数定理を適用して
y'=-fx(x,y)/fy(x,y)
で y'=dy/dxを計算できますが、
> g(x,y)=ｙ-x^y=0
この式を全微分して
dg=dy-(x^y){(y/x)dx+log(x)dy}=0
-yx^(y-1)dx+(1-(x^y)log(x))dy=0　…(■)
この式を
dg=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy=0
と比較して
fx(x,y)=-yx^(y-1), fy(x,y)=(1-(x^y)log(x))
と求まります。
また
(■)から直接
dy/dx=y'が求められますね。

あるいは
最初から
y=x^y (x>0)
の自然対数をとって
log(y)=ylog(x)
両辺をxで微分して
y'/y=y'log(x)+y/x
この式からy'を求めることもできます。
そうすれば偏微分や陰関数定理を使わなくても
y'(1-ylog(x))=y(y/x)
からy'が求まります。
y=x^yから　y/x=x^(y-1)
この式を代入してやると、
上述の他の解法と同じ　y'　の式になります。

お礼

理解できました！
丁寧に解説してくださって、本当にありがとうございました。

回答No.4

info22

#2,#3です。
参考までに
y=x^y(x>0)
を　y=f(x)　の形に表すと
yはxの2価関数になるので
yを0<y≦eとして1価関数とすれば
W(x)をLambertW関数として
　y=W(ln(1/x))/ln(1/x)
と表されます。
このyの導関数はLambertW関数を使えば
y'=(W(ln(1/x)))^2/[x*{1+W(ln(1/x))}(ln(x))^2]
となります。

このy'はA#1,A#2,A#3のx,yを使った表現y'(x,y)
y'=y^2/[x{1-ylog(x)}] or
=y/[x{(1/y)-ln(x)}] or
=y{x^(y-1)}/{1-ylog(x)}
をy'(x)（xだけの関数)で表した導関数の表現になります。

お礼

お礼遅れてしまい申し訳ありません。

1つの問題でもいろいろな解法があるのですね。
丁寧に解説してくださりありがとうございました。

回答No.2

info22

> ｘに関する偏導関数とｙに関する偏導関数を求め、陰関数定理を使うことまではわかるのですが、計算が合いません。
その計算の式の変形の詳細を補足に書いて下さい。
そうすればどこで間違ったかチェックできます。

ヒント)
x^y=e^(ylog(x))

f(x,y)=y-x^y

fx(x,y)=∂(-x^y)/∂x=-(x^y)∂(ylog(x))/∂x=-(x^y)(y/x)=-y*x^(y-1)
fy(x,y)=1-∂(x^y)/∂y=1-(x^y)∂(ylog(x))/∂y=1-(x^y)log(x)

補足

ｘに関する偏導関数は、y-x^y＝0　をxで偏微分して、－y(x^(y－1))となったのですが、これはあっていますでしょうか？

また、y=x^yがなぜinfo22さんがヒントを下さった、x^y=e^(ylog(x)) に変形できるのか、お教えください。

回答No.1

rnakamra

両辺の対数をとってからxで微分してみればよい。

ln(y)=yln(x)
y'/y=y'ln(x)+y/x

y'について解くと
y'{1/y-ln(x)}=y/x
y'=y/[x{1/y-ln(x)}]

お礼

理解できました。
ありがとうございました。