- ベストアンサー
対称式の証明が出来ずに困っています。
数学の問題が解けずに困っています！どなたか、お力をお貸しください。 問題は、以下のような問題です。 四つの正の数 x,y,z,w が与えられています。 それらは、x+y+z+w=1 を満たしています。このとき {x^2/(x+y)}+{y^2/(y+z)}+{z^2/(z+w)}+{w^2/(w+x)} >= 1/2 を、示しなさい。 私は、以下のようにアプローチしました。ご参照ください。 まず、x >= y >= z >= w ・・・(1) と仮定する。 x+y+z+w=1 を 2 でわって (x/2)+(y/2)+(z/2)+(w/2) = 1/2 とする。 次に、左辺の各項のそれぞれの文字を分子、分母に掛ける (x^2/2x)+(y^2/2y)+(z^2/2z)+(w^2/2w) = 1/2 ・・・(2) ここで、(1)から 2x >= x+y ・・・(3) 逆数を取って (1/2x) <= 1/(x+y) 両辺に x^2 を掛けて x^2/2x <= x^2/(x+y) これを、(2)の各項で繰り返して 1/2 = (x^2/2x)+(y^2/2y)+(z^2/2z)+(w^2/2w) >= {x^2/(x+y)}+{y^2/(y+z)}+{z^2/(z+w)}+{w^2/(w+x)} としたかったのですが… wについて、(3)をしようと思っても 2w >= w+x が成り立たず、証明が不十分になってしまいます。 この証明方法でうまくいく方法は、無いでしょうか？最後の詰めだけうまくいけば、スマートな方法だと思うのですが…。 それとも、他に良い手がある場合には、ご教授願えればと思います。 皆様のお知恵をお貸しください。よろしくお願いいたします。
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
その他の回答 (1)
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
関連するQ&A
- 偏微分・全微分を使った証明
力学のある問題の証明で困っております。 z(x,y） zはx,yを変数に持つ関数（式は具体的には指定されていない） x=rcosα-ssinα y=rsinα+scosα （αは定数） の時 ∂^2ｚ/∂x^2+∂^2z/∂y^2 = ∂^2z/∂r^2+∂^2z/∂s^2 を証明せよ。 （^2は二階微分） です。 全微分を駆使して証明するようなのですが、私のやり方では右辺を展開する途中で ∂^2z/（∂r∂x）cosα+∂^2z/（∂r∂y）sinα-∂^2z/（∂s∂x）sinα+∂^2z/（∂s∂y）cosα が出てきました。（ここまで合ってればいいのですが・・・） そうすると、sinαとcosαの係数にある微分記号の分母∂ｘ,∂yが邪魔で、この先どう変形して良いのかわからず、左辺の式まで持っていけません。 どなたかわかりませんでしょうか？
- ベストアンサー
- 物理学
- 不等式の証明
x>0,y>0,z>0で、xyz>=0を満たすとき、 x^2/(x^5+y^2+z^2)+y^2/(x^2+y^5+z^2)+z^2/(x^2+y^2+z^5)=<1を証明せよ。 x^2/(x^5+y^2+z^2)=<□/(x^2+y^2+z^2)となるために□に何がくればいいのかを考えました。 同様に、y^2/(x^2+y^5+z^2)、z^2/(x^2+y^2+z^5)の場合を考えて、この３式を加えたとき、 右辺が１になるか、または、１以下を示せればいいと思いました。 しかし、□に当てはまる式を、yz、y^2z^2、xyz、などと考えましたが、うまくいかず。 また、分母を変えてみようかとも思いましたが、先ずはこれで通そうと思いました。 よろしく、アドバイスお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 相加・相乗平均の関係を使った不等式の証明
不等式の証明で、 x,y,zが正の実数で、xyz＞１のとき x^2y+y^2z+z^2x＞xy+yz+zx となることを証明せよ、という問題なのですが、 おそらく左辺を３項の相加・相乗平均の関係を使って 左辺≧3xyzを使うのだろうということ以外分かりません。 ご教授お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 変数を置換える微分方程式について
お世話になります、 以下の考え方で問題がないかご教授願います。 (どうして大学のテキストは解答がついてないのでしょうか、成否の確認ができません…) 問題：y´=y^2/(xy-x^2) 最初は変数分離で一瞬で解けると思ったのですが、分母がネックになりました。 右辺を1変数に置き換えられないか考えて、分子分母に1/(xy)を乗じます。 y^2/(xy-x^2)=(y/x)/(1-x/y) において、 z=(y/x)としてz^(-1)=(x/y),dz/dy=1/xよりdy=x dz ∴ z/(1-z^(-1))=(x・dz)/dx 両辺を逆数化して (1-z^(-1))/z=dx/(x・dz) ∫(1-z^(-1))/z dz=∫1/x dx log|z|+z^(-1)+C=log|x| <Cは積分定数です> つまり、log x=log z+z^(-1)+C log x=log z+log e^z^(-1)+log e^C log x=log{ze^z^(-1)e^C} x=ze^z^(-1)C´ <e^C=C´とする> x=(y/x)e^(x/y)C´ 一応、微分は無くなったので正解となるのでしょうか？ お世話になります。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校数学 複素数の分数変換の問題です。
w = 1/(z-i) によって z 平面上の円 |z| = 1(z≠i) は w 平面上のどんな図形に移るか。 w = 1/(z-i) ⇒ w ≠ 0 ・・・・・(1) z - i = 1/w. ∴z = i+1/w = wi+1 ・・・・・(2) これを |z| = 1 に代入すると , |wi+1| = |w|. 両辺を平方すると左辺は |wi+1|^2 = (wi+1)(wi+1)~ = (1+wi)(1-w~i) = 1 + wi - w~i - ww~i^2 = ww~ + wi - w~i + 1 右辺は ww~ なので wi - w~i + 1 = wi + (wi)~ + 1 = 0. ∴Re(wi) = -1/2 ・・・・・(3) wi を w を原点の周りに時計回りにπ/2 だけ回転すると w となるから Im(w) = 1/2 ・・・・・(4) で示される直線に移る。 一応これでいいと思うのですが、(4)が(2)を、したがって(1)を満たすことはどうやって示せばいいのでしょうか。 (4)はx-y平面なら y=1/2 に相当する直線なので w = x + (1/2)i（x は任意の実数） iw = ix - 1/2. これを(2)に代入すると z = iw + 1 = ix - 1/2 + 1 = 1/2 + ix となり 円 |z| = 1 になりそうもありません。どこがおかしいのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不等式の証明
正の実数x,y,zで、xyz=1のとき、 x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)>=3/2 を示せ。 左辺について、相加相乗平均をつかうと、 x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)>=3{xyz/(y+z)(z+x)(x+y)}^(1/3) =3{1/(y+z)(z+x)(x+y)}^(1/3) これから、8>=(y+z)(z+x)(x+y)をしめせばよい。が、どうしても しめせない。ということは、最初の出だしがよくないと思う。 次に、xyz=1と相加相乗平均から、 左辺=1/yz(y+z)+1/zx(z+x)+1/xy(x+y) =4/(y+z)^3+4/(z+x)^3+4/(x+y)^3 とかしてみたが、 結局、8>=(y+z)(z+x)(x+y)に帰着するので、ダメ。 あとは、x/(y+z)>=3/2*{x/(x+y+z)}を示せれば、よいと思いましたが、 できませんでした。 解決方法のアドバイスお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございます。 この場合、各項で xy/(x+y) <= 1/2 が示せても、それぞれを足し合わせると不十分になってしまいませんか？ つまり x^2/(x+y)}+{y^2/(y+z)}+{z^2/(z+w)}+{w^2/(w+x)} = x+y+z+w-{xy/(x+y)+yz/(y+z)+zw/(z+w)+wx/(w+x)} と、各項での証明を足し合わせた時、右辺の中カッコ内が、1/2以下である保証が無い、という意味です。 私の考え違いかもしれませんが、いかがでしょうか？