高三の生徒の質問に悩むにゃんこ先生、行列の累乗とは？

質問

• 高校３年生の生徒から行列の累乗に関する質問を受けたにゃんこ先生。奇数乗ではどんな値になっても良いが、偶数乗では負の値にならない性質を持つことを教えてください。
• さらに、実数を成分とする正方行列に対しても累乗を考えると、どのような性質があるのか疑問に思うにゃんこ先生。例えば、座標を成分とした４次元空間の場合、累乗によって得られる空間の包含関係について教えてください。
• にゃんこ先生はハミルトンケーリーの関係式を知っているが、行列の累乗による空間の包含関係について詳しく知りたいと思っています。X^nたちの集合の包含関係について教えてください。

回答No.5

gef00675

やっぱり的外れだったか。

＞　X^2=Aが解を持つための条件

なるほど。こういう問題なら、鈍い私にもわかります。
Ａが実数を成分とする2x2行列で、
Ｘは複素数行列でもよいということですね。

Ａの固有値をα、βとする。（α、βは複素数）
(1) α＝βの場合、
　N=A-αIとする。
　もし、N=0またはα≠０なら、X^2=Aは解をもつ。
その解はα≠０なら２個あって、
　X=±√α I ±(1/(2√α))N　（複号は同順にとる）
　N=0なら、X=±√α I

(2)α≠βの場合、
X^2=Aは複素数の範囲で解をもち、
その解は４個あり、X=±√α P ±√β Q　（複号は４通りとってよし）
　ここで、P=(1/(α-β))(A-βI)、Q=(1/(β-α))(A-αI)

要するに、
＞　α≠βのとき、A^n=α^n P+β^n Q
＞　α＝βのとき、A^n = α^n I + n α^(n-1) N
の、nを1/2にしただけです。

結論：「α＝βかつA-αI≠０」以外の場合はX^2=Aは複素数の範囲で解をもつ。

つぎに、Xを実数成分に限定した場合、(2)α≠βは、さらに場合分けされて、

(3) α,βが虚数の場合
　α＝β~ （共役複素数）であることから、P=Q~。よって
　複素数αの平方根の一つを√αとかくことにすれば、
２個の実数解がある。X=±（√αP +(√αP)~)＝±2(√αPの実数部）

(4) α≧0かつβ≧0の場合（両方とも０のときはのぞく）
４つの実数解がある。X=±√α P ±√β Q　（複号は４通りとってよし）

(5) αとβのどちらかまたは両方が負の場合
　負数の平方根が虚数になるため、実数解はない。

ということになるでしょう。

ここまで書いて、あっているかどうか不安になってきた。上記以外に解がないことの証明になっていないからです。ほかに解が出てきたらどうしよう。

それと、もしかしたら、Aの４つの成分に関する条件（２次方程式の判別式的な）をお望みでしょうか。少々くたびれたので、すみませんが上記のことからご賢察ください。