高三の生徒の質問に悩むにゃんこ先生、行列の累乗とは？

質問

• 高校３年生の生徒から行列の累乗に関する質問を受けたにゃんこ先生。奇数乗ではどんな値になっても良いが、偶数乗では負の値にならない性質を持つことを教えてください。
• さらに、実数を成分とする正方行列に対しても累乗を考えると、どのような性質があるのか疑問に思うにゃんこ先生。例えば、座標を成分とした４次元空間の場合、累乗によって得られる空間の包含関係について教えてください。
• にゃんこ先生はハミルトンケーリーの関係式を知っているが、行列の累乗による空間の包含関係について詳しく知りたいと思っています。X^nたちの集合の包含関係について教えてください。

回答No.2

gef00675

生徒さんは何を聞きたいんでしょうね？
その子はケーリー・ハミルトンの定理
「f(x)=det(xI-A)=(何かxの多項式）とすると、f(A)=0」
は知っていると。
そして、固有値・固有ベクトルというものも知っていると。
固有方程式の解（＝固有値）が存在し（それをα、βとする）、
なおかつ、独立な固有ベクトルが２個とれれば(u, vとする)、
Au=αu, Av=βv、これを一個の行列にまとめて
AU=UM　（Mは対角行列）
とかくことができるから、
A=UMU^(-1)
をべき乗すれば、
A^n=U M^n U^(-1)
なるくらいのことは知っているんでしょうね？

まず、固有値が存在しなければならないといけないが、複素数の範囲まで考えれば、この点はクリアできる。Aが実数成分だけの行列なら、α、βが複素数になったとしても、所詮、共役複素数になるだけだから、α=a+biとかいて、
a -b
b a
の形のＭを考えれば、回転の行列の定数倍になるだけだから、三角関数を知っていれば、M^nを計算するのはたやすい。
このあたりまでも、高校生の範囲で理解可能ですよね。

だけど、問題は「独立な固有ベクトルが２個とれるか」でしょう。
まず、α、βが異なれば、それらに対応する固有ベクトルの方向が異なるＯＫです。
だから、複素数の場合もＯＫです。
では、α＝β（重解）だったらどうか？
Ａが対角化できる必要十分条件は、Ａの最小多項式が重解をもたないこと。
すなわち、２次元の場合なら、
g(A)=A-αI=0
の場合に限る。要するにAは単位行列の定数倍で、つまらんです。
では、固有値が重解で、なおかつ対角化できないときは、どうやったらA^nが固有値で表せるのか？
このときは、A-αIが0でないということなので、それをＮとおく。
A-αI=N
このNは、べきゼロ行列です。N^2=0。なんでそうなるかは、高校生相手なら、ケーリーハミルトンの定理あたりでごまかしておけばよいでしょう。
単位行列とNは可換だから、2項定理が使えて、
A^n = (αI+N)^n = α^n I + n α^(n-1) N + (Nの２乗以上の項）
N^2=0だったから、Nの２乗以上の項はすべて消えて、
A^n = α^n I + n α^(n-1) N
これが、固有値が重解のときのAのべき乗になります。

ところで、固有値が異なるとき（α≠β）に話をもどすと、
P=(1/(α-β))(A-βI)
Q=(1/(β-α))(A-αI)
とおくと、
A=αP+βQ
とかけますよね。しかも、
P^2=P, Q^2=Q, PQ=QP=0, P+Q=I
です。これは。。。そうです。射影です。これを確かめるのも、高校生相手なら、ケーリーハミルトンの定理なり、A=UMU^(-1)なりを使わせればいいでしょう。
ということは、
A^n=α^n P+β^n Q
で、話がすんでしまい、計算のややこしいＵ^(-1)は結局使わずにすみますね。
固有値が複素数のときは、べき乗をド・モアブルの定理で処理してもいいです。

こうして、２×２行列のべき乗はその固有値を用いて、
α≠βのとき、A^n=α^n P+β^n Q
α＝βのとき、A^n = α^n I + n α^(n-1) N
の形にしかならないのである！

と、生徒さんに諭しておいて、、、、さて、どうしよう。
「Aにどんな条件をつければ、AからA^nへの対応が全射になるか？」
でしたっけ？
A^n=Ｘとかくことにして、Ｘを勝手に与えて、そのn乗根みたいなものを考えればいいんですか？
Xの固有値が２個出てくれば、X^(1/n)=α^(1/n) P+β^(1/n) Q
としてしまっていいですね。
対角化できない場合でも、Ｘに応じてそうなるようなＮを決めることは可能ですね。

私には「包含関係」の意味がよくわからなかったけど、ご質問のヒントになれば幸いです。例によって的外れな回答だったらごめんなさい。

お礼

質問の意味がわかっていただけなかったのはとても残念です。

ひとつのことをいえば、行列方程式の判別式です。

実数の範囲で、
x^2=aが解を持つ⇔a≧0
x^2=aが解を持たない⇔a＜0

それに対応するものとして、実数(もしくは複素数)を成分とする2x2行列で、
X^2=Aが解を持つための条件
を教えていただきたいのです。