ベクトルの表示と内積についての疑問
- 空間内の位置ベクトルの表し方についての疑問です。
- ベクトルの表し方として、座標系による位置座標と基底による線型結合の係数を比較したいです。
- また、ベクトルの内積について、座標の取り方に関係なく定まるのか疑問です。
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ベクトルの表示，内積について．．．
2つ質問があります． (1) 空間の位置ベクトルはよく(x,y,z)のように3つの実数で表されますよね．これは空間内に適当な座標系を考えたときの，ある点の座標だと思います．一方，空間内に適当な基底{e1, e2, e3}をとったときに任意のベクトルAがA=x e_1+y e_2+z e_3と表せることから，Aを(x, y, z)と書くと思います，この場合(x, y, z)は必ずしも空間内の点の座標と一致しないはずです．質問は，(x, y, z)と書かれたときに，これは空間内の点の座標であると見るのか，または，ある基底で線型結合を取る時の係数であると見るのか，どちらなのかということです．これは文脈によるのでしょうか？ (2) (1)に関連するかもしれないのですが，高校で(a, b, c)と(x, y ,z)の内積はax+by+czであると習いますが，これは座標系の取り方に関係なく（直交座標や斜交座標に関係なく）定まるものなのでしょうか？
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(1) >>Aを(x, y, z)と書くと思います ここが違うと思われます。 確かに、このように表現することは(一応)可能ですが、特殊な文脈上でだけで、何も指定がなければe1(1,0,0),e2(0,1,0)、e3(0,0,1)と捉えるのが普通では無いでしょうか。 (2) 定まりません。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BA%A4%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB こちらを参照願います。
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(1)3次元数ベクトル空間から元の空間への写像 f(x,y,z)=x e_1+y e_2+z e_3 によって異なる2つの空間を同一視していること を断りなく書いているだけでしょう。 Aと(x,y,z)は別物なので区別するべきです。 (2)その座標系がいわゆる”直交座標”かどうかは 関係ありません。 2つの座標系が与えられたとき、座標変換が直交 変換のとき内積は不変になります。 多分、ここでその説明を書いたり、ここの回答の中 の不明な点についてさらに質問してもらって一つ一 つ答えていくよりも、ご自分で線形代数の本を手に とって計量線形空間のところを見てもらったほうがい いと思います。
お礼
>異なる2つの空間を同一視していることを断りなく書いているだけでしょう。 そうですね．ここのところを混同していたみたいです．気をつけて勉強したいと思います．ありがとうございました．
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
No.2 です。ちょっと勘違いがありました。すいません。 勘違いしていましたが、質問はなにかデカルト座標のような直交座標系を 特別視されてているようですね。 ＃明言されていないので明確にはわかりませんが・・・ もちろん、(x, y, z)がどんなものを表しているのかを決める規則などは ありません。数学では3個の数字の組を表すだけです。ベクトルではないこともあります。
お礼
直交座標系を特別視しているつもりはないです．(x,y,z)は単なる3つの数字の組であるのは分かっているつもりなのですが，ベクトルと混同していました． ありがとうございました．
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
(1) 考え方がなんか硬いですね。 A=x e_1+y e_2+z e_3 は直交座標での座標をあらわしていますが 極座標など座標線が直線ではない座標もあります。直交座標だってスケール、向き、原点が 違えばいくらでも定義できます。それぞれで点の座標値は違ってきます。それだけですよね。 (x, y, z )がどの座標系の表現なのかはどこかに書かれているか、その場で、 常識の範囲内で判断できない限り特定はできません。 (2) あなたのゆうところの「ユークリッド内積」ひとつとっても、座標系によって 計算法は様々です。よって定まりません。
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