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行列
条件X^-4X+3E=O・・・*をみたすときこのようなxyを座標とする点(x、y)の存在範囲を図示せよ。ただし x z X=( )であり、その成分は実数である z y trX=p、detX=qとおく ケーリーハミルトンの定理より X^2=pX-qE *に代入して (p-4)X-(q-3)E=O (i)p-4=0のときq-3=0⇔x+y=4,xy=3+z^2 (ii)p-4≠0のとき X={(q-3)/(q-4)}E≡kE *に代入して E(k^2-4k-3)=O ∴k=1,3 k=1のとき(x-1)(y-1)=z^2 k=3のときxy-3x-3y=z^2-1 zをどう処理すればいいかわかりません。 実数条件→判別式が正。かと思うがZについて判別式or z^2>0? xyの解と係数の関係をどうにかつかう?
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HC定理を利用した証明 A=(a b),E=(1 0)とする。ただし、Aの成分は実数で,x=a+d,y=-(ad-bc)とする。次のことを証明せよ。 ^^^(c d)^^^(0 1) A^3=EかつAnot=E⇒A^2+A+E=O 解 行列Aについて,ハルミトンケーリーの定理からA^2-xA-yE=O すなわち A^2=xA+yE・・・・(1)が成り立つ。 A^3=AA^2=xA^2+yA=x(xA+yE)+yA=(x^2+y)A+xyE・・・・(2) A^3=EかつAnot=Eならば,(2)から (x^2+y)A+(xy-1)E=O・・・・(3) [1]x^2+y=0・・・・(4)のとき,(3)から (xy-1)E=O よってxy=1・・・・(5) (4)からy=-x^2 (5)に代入して x^3=-1 xは実数であるから x=-1 ゆえにy=-1 よって,(1)から A^2+A+E=O [2]x^2+ynot=0のとき,(3)から A=(1-xy)E/x^2+y 1-xy/x^2+y=kとおくと A=kE これをA^3=Eに代入して整理すると(k^3-1)E=O ゆえにk^3-1=0 kは実数であるからk=1であり,A=Eとなるが、これはAnot=En反する。 [1],[2]から、題意は示された。 教えてほしいところ 自分は[2]は書かないで[1]だけ書いて証明しました。 なぜ、[1]だけでもA^3=EかつAnot=E⇒A^2+A+E=O ということを示せているので正解じゃないんですか?? [2]を書かないといけない必要性を教えてください。
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お礼
どうもありがとうございました。納得できた。