数学について教えてください。

質問

∠BACが鋭角で、AB=3、BC=7、sinC=3√3/14である△ABCがある。
・△ABCの外接円の点Bを含まない弧AC上に、BD=CDを満たすような点DをとるとADはいくらか。
・線分ACと線分BDの交点をEとするとBEはいくらか。
解き方から分からず悩んでいます。
分かりやすく教えていただければと思います。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

＞・△ABCの外接円の点Bを含まない弧AC上に、BD=CDを満たすような点DをとるとADはいくらか。

　△ＡＢＣに正弦定理を用いることで、△ＡＢＣの外接円Ｏの半径Ｒと∠Ａを次のように求めることができます。

　　Ｒ＝７／√３、　　∠Ａ＝π／３

　＜円周角の定理＞より、
　　　∠ＢＤＣ＝∠Ａ＝π／３
　また、ＢＤ＝ＣＤより
　　　∠ＤＢＣ＝∠ＤＣＢ＝（π－∠ＢＤＣ）／２＝π／３
で、△ＢＣＤは正三角形である。

　∠ＤＣＡ＝∠ＤＢＡ＝θ　とおくと、∠ＤＯＡ＝２θ　なので、
　　　ＡＤ＝２Ｒsinθ　　・・・・・（１）

　∠Ｂ、∠Ｃのsin, cosを求めておきます。
　　　cos∠Ｃ＝√{1-(sin∠Ｂ)^2}＝１３／１４　（∵∠Ｃは鋭角　∵ＡＢ＜ＢＣ）
　　　cos∠Ｂ＝cos(π－∠Ａ－∠Ｃ）＝－cos(π/3+∠Ｃ）＝－１／７
　　　sin∠Ｂ＝√{1-(cos∠Ｂ)^2}＝４√３／７

　ここで、sin∠Ｃとsin∠Ｂについて加法定理を用い、sinθ, cosθの連立方程式を得ます。
　　　sin∠Ｃ＝sin(π/3-θ)＝3√3/14　⇔　√3 cosθ－sinθ＝3√3/7
　　　sin∠Ｂ＝sin(π/3+θ)＝4√3/7　　⇔　√3 cosθ＋sinθ＝8√3/7

　これらの連立方程式の差をとることで、sinθを得ますと、次のようになります。
　　　sinθ＝５√３／１４

　これと外接円の半径Ｒを式（１）に代入して、ＡＤの長さを得ます。

　　∴　ＡＤ＝２Ｒsinθ　＝５

＞・線分ACと線分BDの交点をEとするとBEはいくらか。

　△ＢＣＥに正弦定理を適用します。
　　　ＢＥ／sin∠Ｃ＝ＢＣ／sin∠ＢＥＣ　　・・・・・（２）

　sin∠ＢＥＣ　を求めます。
　　　sin∠ＢＥＣ
　　＝sin(π－∠ＥＢＣ－∠ＥＣＢ)
　　＝sin(∠Ｃ＋π/3)
　　＝４√３／７

　これらを式（２）に代入して　ＢＥの長さを得ます。

　　ＢＥ＝ＢＣ sin∠Ｃ／sin∠ＢＥＣ　＝２１／８