- 締切済み
ZFCが一番少ない公理系ではない?
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
みんなの回答
- tmt486132164
- ベストアンサー率100% (1/1)
あと、内包性の公理図式があります。 （空集合の公理は、”少なくとも一つの集合が存在する”ことを前提とすれば、内包性の公理図式に、論理式"A≠A"を当てはめて、導けます。,） 公理図式と公理の違いは何なのでしょうか? （難しいことは、他の人が書いてくれているので、簡単に説明します。） 公理は、その論理式の中に、「任意の論理式」を表す記号が“含まれていない”もの。 公理図式は、その論理式の中に、「任意の論理式」を表す記号が“含まれている”もの。 つまり、公理図式は、実際に、その記号に、何かの論理式を当てはめたとき、公理になるものです。 そこに当てはめられる論理式が無限にあるので、無限個の公理があるとなります。 （ちなみに、ZF, ZFCは、有限公理化不可能と証明されているらしいです。） ZFCでの公理図式は、内包性の公理図式と置換公理図式だけです。
- stomachman
- ベストアンサー率57% (1014/1775)
ANo.1のコメントを拝見しました。 えとですね、一般に、記号の並べ方の規則だけを記述する（もちろん「これはこんな風な意味だ」などとたとえ話で説明することを排除する）ことによって、自己無撞着なやりかたでその記号の使い方を定めるのが形式的公理系です。 ZFC公理系は集合という概念に関する公理系ですが、「集合」という言葉は出てきません。出てくるのは"∈"だけ。そして"∈"は無定義の記号であり、ZFC公理系を書き並べる直前の段階では、記号"∈"は使い方が（従って意味も）定まっていません。ZFC公理系はただこの記号の並べ方（使い方）の規則を規定していて、これによって記号の意味が立ち現れる仕掛けなのです。 なお、ZFC公理系を書き並べる前に、まず1階述語論理という体系が公理系によって定まっていなくてはなりません。 > 公理図式とはつまり,公理を説明する為の"例え"なのでしょうか? 違います。1階述語論理の1変数述語がどういうものであるかは、既に1階述語論理の公理系において形式的に（すなわち記号の並べ方の規則として）定義されているので、図式に任意の述語をあてはめる、ということには何の曖昧さもありません。ただ、ZFC公理系で定まる体系の中には論理式や述語を指す手段はない（ZFCは集合の公理系ですから）ので、「任意の1変数述語」を意味する記号表現ができないだけです。 > なるほど,公理は集合等を定義する以前の話ですので,集合での記号は使えないのですね。 誤りです。「∀」は1階述語論理の記号として既に使い方が決まっています。しかし「∀A(....) （ただしAは論理式や述語）」は（2階述語論理の式であって）1階述語論理の式でも集合に関する式でもないので、ZFCの体系ではナンセンスな表現です。
- stomachman
- ベストアンサー率57% (1014/1775)
置換公理（あるいは、その代わりに使われる分出公理）は、「任意の論理式Aについて…」という格好をしています。しかし論理式は対象（集合）ではないんで、 ∀A(....) とは書けません。（こう書いてしまうと、2階述語論理の式になってしまう。） だからこれは公理そのものではなくて、論理式Aを具体的にひとつ決めるごとに公理ができると考えねばなりません。なので無限個の公理があることになります。こういう「公理の形だけを表していて、中身を入れると公理になるもの」を「図式」と呼ぶんです。
関連するQ&A
- ZF公理系に「積集合の公理」がないのは何故ですか？
（I）外延公理 ∀z（z∈x <-> z∈y）－＞ x=y （II）対公理 ∃z∀u（u∈z <-> u=x ∨u=y） （III）和集合公理 ∃y∀z（z∈y <-> ∃u（u∈x∧z∈u）） （IV）ベキ集合公理 ∃y∀z（z∈y <-> z⊆x） （V）空集合公理 ∃x∀y￢（y∈x） （VI）無限公理 ∃x（Φ∈z∧∀y（y∈x ー＞ y∪{y}∈x）) （VII）置換公理 ∀x∀y∀z（φ(x,y）∧φ(x,z）－＞y=z) －＞ ∃v∀y（y∈v <-> ∃x（x∈u∧φ(x,y)）） （VIII）正則性公理 x≠Φ ー＞ ∃y（y∈x ∧ ｙ∩x＝Φ） このように和集合の公理はあるのに何故積集合の公理はないのでしょうか？ 他から導けるのでしょうか？
- 締切済み
- 数学・算数
- 集合論の空集合の公理で
お世話になります。 「Q&A数学基礎論入門」(久間栄道 著)を読んでいたら次のようにありました。 無限公理と分出公理があれば空集合の公理は必要ないので，現在では空集合の公理を省いてある体系もある。具体的には{x∈ω'|￢(x＝x)}とすれば，これは無限公理と分出公理から存在が言えるが、これはφそのものである。 無限公理は次のように書いてあります。 ∃a((φ∈a)∧∀x∈a((x∪{x}∈a)) このaをω'とする。 疑問…何だか循環論のような気がします。 質問…空集合の公理を採用しない体系での無限公理はどのように書くのですか？ どうか教えて下さい。 当方素人ですので、分かり易くお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ラッセルのパラドックスと公理的集合論
当方、数学についてはシロウトですが、お許しください。 集合論関係の本を読んでいてどうしてもわからないことがありまして。 ラッセルのパラドックスというのがありますよね。 このパラドックス自体は飲み込めたつもりですし、そういった類のパラドックスを避けるために公理系を整備するという発想も、まあ判る気がします。 が、例えばZF公理系ならば、どうしてラッセルのパラドックスが回避可能なのかがよくわからないのです。外延性公理から正則性公理まで眺めてみても、なぜこの公理系を採用すればパラドックスが起きないのかピンときません。 どなたかお詳しい方、解説をお願いできませんでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 圏論を公理的に扱うには
圏のはじめの定義において対象のcollection、射のcollectionという若干曖昧な言い方がなされるのが普通だと思います。 圏の対象、set全体やgroup全体はproper classになり一階述語論理で書かれた集合論の公理では記述できないことが書籍などでは書かれており、また圏論の解説などで量化記号(∀∃など)を使っているのも見ません。 しかし圏論を公理的に定式化できなければそれも問題だと思うので、公理的な扱いができるとも思っているのですが、それはどういうように行われているのでしょう。 また集合論が数学の基礎づけになっているというのと同じような意味で、圏論がいろいろな数学を展開する場を与えてくれると考えられると感じるのですが、一つ一つの具体的な圏、Set、Group、Top、Htpyなどは圏論全体の枠組みの中でどのようにして導入されるのでしょうか。圏の具体例として急に外から与えられているようにみえるのですが...(たとえば、群全体なるものがどこかで想定されていて圏の定義を満たしていることは確認されるように記述されているように感じます) おそらく公理的な集合論と圏論との関係がわかっていないための混乱なのですが、圏論はどのように形式的に定まっているものなのでしょうか。
- 締切済み
- 数学・算数
- ZFCの論理式の表す内容について
集合論と形式的な論理式の関係についてです、よろしくお願いします。 ZFCで扱われるのは煎じ詰めれば、有限の文字列(∋などを含んだ論理式)だと思うのですが、そんなZFCにより再帰的でない関数や実数から実数への関数全体などのいろいろな無限構造を表現し議論することが多いと感じます。しかし再帰的ですらない関数全体などを有限にすぎない記号列で表現できるのでしょうか。 つまりZFCはどうして十分な高い表現能力を持っているといえるのだろう、ということなのですが。 もちろん、そのような複雑な無限構造も考えたり、思い描いたりすることはできると思いますし、可能ならば数学的に扱えるようにしておくべきだとも思います。 誤解されるかもしれませんが、哲学的な話をしたいわけではありません。そうではなく、フォーマルな意味で有限の形式的な文字列がきちんと意図した構造を表現している、ということは数学的にはどのようにして保証されているのか、ということを伺いたいのです。
- 締切済み
- 数学・算数
- 集合論のZFCに関しての最近の動向と解説書
集合論のZFCに関しての最近の動向で，何か変化がありますか．例えば，ZFCに関する論文などは出ていませんか？ 数学辞典第四版のZFCに関する記述と変わったところはありませんか？ ご存じの方，教えて下さい．また，ZFCの分かりやすい解説書にはどのようなものがありますか？ 因みに，ZFCは， Zermelo-Fraenkel set-theory with the Axiom of Choice の略です．よろしくおねがいします．
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 米国Ph.Dで公理的集合を学べる大学は?公理的集合論の今後の展望は?
日本の大学(A大学)で修士を終公理的集合論えました(専攻は数論)。 以前から公理的集合論に興味があり アメリカの大学院Ph.Dで公理的集合論(数学基礎論)を学びたいのですが (英語ではAxiomatic set theoryというんですかね) どの大学で学べるのでしょうか? 公理的集合論はエリートの学問のような気がしますが(日本の数学学部の講義で公理的集合論を開講してる所は少なく,書籍の著者も東大や京大の教授の方ばかりのような気がするからです) 論文を閲覧できるサイトは高額の年間契約金を払わねばならず現在A大学では部外者となってますので大学に潜入して調べる事もできません(っていうか飛行機で行かねばならない遠方なのでそう簡単に赴けません)。 市内の図書館もインターネット使用不可なので調べようもありません。 逐一,各大学のHPでチェックしていくしかないのでしょうか? 現時点でプロフィール欄でAxiomatic set theoryを研究対象にしてる教授は発見できずです。 何かてっとり早く探す方法は無いものでしょうか? あと,現在・将来での公理的集合論の展望はどんな感じなのでしょうか? 御意見賜れれば幸いでございます。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 選択公理は循環論法的ではないですか？
集合論における選択公理は，現行の表現のままでは， 循環論法的主張になってしまっているのではないでしょうか？ つまり，それぞれの集合族について選択関数が選べると言っても， 選択関数は沢山あるから，１つ１つの集合族についてどの選択関数を選んだらよいか， 選択しなければいけないのではなでしょうか？ すると，選択関数を選択するのに， また選択公理を使って選択しなけばいけないが， それを選択するのにまた選択公理を使って・・・？？！ これでは，いつまで経っても選べない！ だから，選択公理は， すべての集合から成る領域において定義された選択関数の存在 を主張しないといけないのではなでしょうか？ 従って，公理の表現を次のように改めないといけないと思うのですが・・・ ∃ｆ：Ｖ－{φ} → Ｖ ，∀ａ∈Ｖ ，∀ｘ∈ａ ，ｘ≠φ ⇒ ｆ(ｘ)∈ｘ （ｆ：選択関数，Ｖ：すべての集合（族）からなる領域，φ：空集合，ａ：集合族，ｘ：集合） 「強い選択公理」とか「弱い選択公理？」とかもあるようですが、 上記の点はどうなのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 有理数もペアノの公理を満たす？
ペアノの公理を満たすものを自然数と言うそうですが、 私は可算無限集合ならペアノの公理を満たすと思います。 そうすると、有理数も可算無限集合なので、 有理数は自然数となってしまいます。 有理数は自然数でないので、 ペアノの公理を満たさない筈ですが、 ペアノの公理を満たさないと何故言えるのか分かりません。 何方か教えていただけないでしょうか？ 私の言っているペアノの公理は、 集合N，N の元e，写像φ : N → N が、 (1) φ は単射である (2) φ(N) ⊂ N＼{e} (3) M ⊂ N ∧ e ∈ M ∧ φ(M) ⊂ M ⇒ M = N です。 (1)と(2)を満たす写像φを定義でき、 ∃e ∈ N；φ(N) = N＼{e}である。 と解釈しています。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 公理の正しさについて
数学カテゴリで質問しようかと思ったのですが、数学的な基礎づけを伺いたいわけではないので、哲学カテゴリにしました。 最近、ある宗教家の方とお話ししていると 「科学は、公理の上に定理を積み重ねることはできても、公理がなぜ正しいのかは証明することはできない。 公理がなぜ正しいのか。それは神様から与えられたものだからである」 とおっしゃっていました。 クーンのパラダイム論に近いことかと思っていると、「時代背景」とかではなく、もっと根源的に、「科学とは神によって担保されている」という意味のようでした。 (1)こういう考え方って、現在の哲学や神学では結構ありふれているのでしょうか？ また、歴史上に同じような考え方をしていた思想家はいるでしょうか？ 「公理」や「定理」という考え方をしていた哲学者というとスピノザが思い浮かびますが、彼は公理の正しさについては何も言及していなかったと思います。 (2)科学には反証可能性があり、宗教にはそれがない点で、両者は全くの別物だと思います。 しかし、上記の主張を受け入れると、「科学は神に従属している → 科学もまた宗教ではないか」とという結論になる気がします。 もし上記の主張が正しければ、本当にそういう結論になるのでしょうか？
- 締切済み
- 哲学・倫理・宗教学
お礼
有難うございます。 > 置換公理（あるいは、その代わりに使われる分出公理）は、 > 「任意の論理式Aについて…」という格好をしています。 公理図式とはつまり,公理を説明する為の"例え"なのでしょうか? > しかし論理式は対象（集合）ではないんで、∀A(....) > とは書けません。 なるほど,公理は集合等を定義する以前の話ですので,集合での記号は使えないのですね。 という事は公理を厳密に書き記すのは不可能ですね。 公理図式で雰囲気を表現する事しかできないのですね。 > （こう書いてしまうと、2階述語論理の式になってしまう。） > だからこれは公理そのものではなくて、論理式Aを具体的にひとつ決めるごとに > 公理ができると考えねばなりません。なので無限個の公理があることになります。 > こういう「公理の形だけを表していて、中身を入れると公理になるもの」を「図式」と呼ぶんです。 つまり,「ZFCは一番少ない公理の種類数(9個)の公理系である」と表現すればいいのでしょうか?