確率の基本

質問

こんばんは。
下の問題がさっぱりわかりません。

（a,b,b,c,cの5文字から4文字をとって一列に並べる方法は何通りあるか）

これは普通に5文字の中から4つ選ぶから　5x4x3x2=120 通り

とだしたら不正解でした　（涙

実際違うだろうな～、と思いそれしか浮かばなかったのでそう計算したのですが。

これは同じ文字があるから重複するということですか？

またそうであるとすればその重複分はどうやって計算すればよいのでしょうか。

はたまた公式みたいなものででるのか。それとも全部書き出さないといけないのか、書き出すとすれば　樹形図がいいのかそれとも表のようなものがいいのか教えてください。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

まず、もっと少ないのから始めてみましょうか。
１、１，２　の３文字にしてみましょう。
すると、３文字並べると、３桁の数ができますよね？
３桁の数は、小さい順序に
１１２、１２１、２１１
の３通りができます。

では、「３通り」の「３」という値を計算で求める方法を考えましょう。
すると、３×２×１　と考えると、
３×２×１　＝　６（通り）
となりますから、正しい答えの２倍になってしまいますよね？
ですから、２で割らないといけません。
なぜ２で割るかというと、
２つの「１」が区別できないからなのです！！！
２つの１から２つの１を選ぶ順列の数は、
２Ｐ２　＝　２×１
なので、２で割ることになるわけです。

逆に、２つの「１」が区別できるとして、その２つの「１」を「１ａ」、「１ｂ」と表すとしましょう。
すると、どうなるかといえば、
１ａ・１ｂ・２、　１ａ・２・１ｂ、　２・１ａ・１ｂ、
１ｂ・１ａ・２、　１ｂ・２・１ａ、　２・１ｂ・１ａ
というふうに、「ちゃんと」６通りになります。

＞＞＞これは同じ文字があるから重複するということですか？

そういうことです。

＞＞＞またそうであるとすればその重複分はどうやって計算すればよいのでしょうか。

上の例では、「１」が２つありましたから、２×１　で割って、重複分を消します。

では、本題。

まず、
ａ、ｂ、ｂ、ｃ、ｃ　の５文字から、
・４文字を取って一列に並べる
・５文字を取って一列に並べる
は、まったく同じことです。
なぜならば、カードを５枚並べて、端っこの１枚を手で隠すのと、
その、手で隠すカードを仲間はずれ（＝取らない）にすることとは同じだからです。

よって、
２つのｂ、２つのｃを区別して並べる方法は、
５×４×３×２×１　通り　あります。
あとは、２つのｂが区別できないので　２×１　で割り、
さらに、２つのｃも区別できないので、２×１　で割れば良いわけです。

ですから、
５×４×３×２×１　÷　（２×１）　÷　（２×１）
とすれば、答えが出ます。

＞＞＞書き出すとすれば　樹形図がいいのかそれとも表のようなものがいいのか教えてください。

中学生の場合は、樹形図がよいです。
高校生以上ならば、計算でやるのがよいです。

＞＞＞はたまた公式みたいなものででるのか。

上記でわかるとおり、
あなたが考えた　５×４×３×２×１　という式だけを覚えておけば、
重複ありの順列も、重複を消す割り算もできますから、
この問題を解くに当たっては十分です。

以上、ご参考になりましたら幸いです。

お礼

感動の説明でした。助かりました。
この問題で3時間費やして考えましたが頭が真っ白になっていました。
感謝。感謝。