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半正定値と凸の関係

2次関数   f(x)=cT・x+xT・Q・x (x∊Rn)   Tは転置 において、c∊Rn、Q:n×n実対称行列とするとき、 「Qが半正定値であるときに限り凸関数となる」とあるのですが、理由がよく分かりません。 Qの要素が負であっても、上に凸になるのではないのですか?

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  • gef00675
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回答No.1

その通り。Qの要素に負でないものがあっても、凸関数になる場合はあります。 「Qが半正定値」であることの定義は、 任意のxについて x^T Q x ≧0 となることであって、そのことは Qの要素の正負とは関係ありません。 例:Q= 1 -1 -1 1 は、(x y)^T Q (x y)= x^2 -2 xy +y^2 = (x-y)^2≧0だから、Qは半正定値であり、この2次形式は凸関数になっています。

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