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準正定値とは?

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お礼率 100% (1/1)

講義で、2次形式 Z = X'AX が準正定値のとき、凸関数であることを証明せよ

という課題が出たのですが、準正定値をいう単語の意味がわからず
解くことができません。検索エンジンでもそれらしいのが出てこなくて
ここに質問をすることにしました^^;

どなたか教えてください。お願いします
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レベル6

ベストアンサー率 44% (4/9)

Z=X'AX (Xはn次元ベクトル、Aは対称行列、ですよネ)

この2次形式が準正定値(半正定値、ともいいます)とは
任意のXに対して X'AX>=0が成り立つことを言います。

0ベクトル以外の任意のXに対して X'AX>0が成り立つときは
正定値である、と言います。

たとえば3変数の場合
x^2+y^2+z^2 は正定値
x^2+(y-2z)^2(つまり x^2+y^2+4z^2-4yz) は準正定値 です
x^2+y^2-z^2 は正定値でも準正定値でも負定値でも準負定値でもない
2次形式です。

もし固有値を知っているなら、
Aが正定値であることと、Aのすべての固有値が正であることが同値
Aが準正定値であることと、Aのすべての固有値が0以上であることが
同値です
お礼コメント
zatt

お礼率 100% (1/1)

なるほど、0以上ということなんですね
証明がこれで導けました。ありがとうございます
投稿日時 - 2001-07-19 11:57:59
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