- ベストアンサー
極限を求めるときの式の有理化について
x→＋∞の時、√(x^2+x)-√(x^2-x)は？ という問題などでは、教科書等には有理化するのが定石と書いています。 どういった思考の結果、有理化を思いつくのか教えてください。 お願いします！
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
関連するQ&A
- √の有理化について
※※※２ X＝―――― の時、X＾2－６Xの値を求めなさい。 ※※３－√7 という問題があります。 ※※※2（3＋√7）※※※※（6＋2√7） X＝―――――――― ＝―――――――＝３＋√7 （3－√7）（3＋√7）※※※（9－7） のように（3－√7）の「－」を「＋」に変えて（3＋√7） にして後は有理化のやり方で分母と分子に×れば良いので しょうか。 後はX＝３＋√7を√とそれ以外に分けて （X－3）＾2＝（√7）＾2 X＾2－6X＋9＝√49 X＾2－6X＋9＝7 X＾2－6X＝7-9 ＝－2 でいいのでしょうか？ よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- (x,y)に有理数があるかどうか
x,yを実数としたとき(x<y)、区間(x,y)に有理数があることをしめすという教科書の問題を模範解答とは違う方法でやってみたので、間違ってるところを指摘もらえますか？よろしくお願いします。 有理数は上にも下にも有界でないので、p<x<y<qとなる有理数p、qが存在する。 1. (p+q)/2∈(x,y)ならば終了 2. そうじゃない場合 a) y<(p+q)/2 ならば (p+q)/2=q_1とし p<x<y<q_1 b) (p+q)/2<x ならば p_1=(p+q)/2とし (p_1)<x<y<q と区間を狭めていく。 そこからまた 不等式の両端を平均して、、、というのをくりかえす 有理数足す有理数÷２は有理数。 y-xは無限大や無限小ではないので、 有限回のうちに区間(x,y)に平均値を持つような有理数が出てくる といった感じでしめせてますでしょうか。。。？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角比では有理化しないのはなぜ？
高等学校の数学では、ほとんどの場合有理化が要求されているのに、三角比だけは例外だと感じます。 つまり、たとえばsin45°＝1/√２は教科書や問題集・参考書でも有理化されていないと思います。 1/√２を有理化しないのはある種の美意識の問題なのかもしれないとは思うものの、なぜ三角比だけが高等学校の数学で例外なのか、どなたか回答をお願いします。 （もしかしたら、私の思い違いかもしれませんが。）
- 締切済み
- 数学・算数
- cos(有理数*π)=有理数、などについてお尋ね（長文）
先日、「cos(有理数*2π)=有理数となるのはどういったときか」 http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2212683 という質問に、親切なご回答を頂きました（感謝です）。 結果だけをまとめますと、 「mとnを互いに素な自然数とする。 cos{(m/n)π}が有理数となる⇔n=1,2,3 sin{(m/n)π}が有理数となる⇔n=1,2,6 tan{(m/n)π}が有理数となる⇔n=1,2」 ここで、新たに疑問が浮かびます。 http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_prob_analy.htm の問題177で、 「a(但し、0＜a＜1/4とする。)を有理数とする時、tan(aπ)は無理数である。」 がGaussの整数環がPIDで有る事を使えば、容易に証明出来るとあります。 （僕が考えた証明、多分不備あり。） tan(aπ)が有理数とすると、 tan(aπ)=y/x(x,yは互いに素な自然数)とかける。 Gaussの整数x+iyを考えると、原点との線分がx軸とのなす角度は、 arg(x+iy)=aπ 有理数a=p/qとして、Gaussの整数x+iyをq乗すると、 arg(x+iy)^q=aπ*q=pπ つまり、 (x+iy)^q=実数 http://members.ld.infoseek.co.jp/aozora_m/suuronN/node57.html に書かれていることから、両辺を因数分解すると、単数倍の違いを除いて一意的。 右辺が奇素数を因数に持つとき、上記サイトの定理４０より、 それはガウス素数か、(a+bi)(a-bi)の形になるが、左辺はそれを因数にもたないから不適。 右辺が２を因数に持つとき、上記サイトの定理４０の上のコメントより、 それは単数倍の違いを除いて2=(1+i)(1-i)なので、左辺は、x+iy=1+iなどの場合に限られる。 このとき、0＜a＜1/4では、tan(aπ)=y/x=1に矛盾。証明終わり。 この問題は、aを有理数とするとき、tan(aπ)も有理数であるのは、a=整数or奇数/4と主張しています。 これを使って、Gaussの整数の観点から、cos(aπ)が有理数である条件を求めれないでしょうか？
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
やっぱりそれ以外ないですよね。 ありがとうございました。