立体図形について

質問

立体図形の１つの頂点の内角の総和が３６０度以上になることはありますか？
これが質問の内容です。以下は補足です。

例えば立方体は１つの頂点に３つの正方形が隣接していて、内角の総和は２７０度です。
正四面体は１つの頂点に４つの正三角形が隣接し、内角の総和は２４０度です。

なぜ３６０度以上は存在しないと考えているかというと
内角の総和が３６０度は平面になってしまうので、立体は形成できないだろうと考えています。

正確には長い間、そうやって考えていたという方が正しいのですが、
最近ある事情からこの考えがぐらついています。
しかし、私にはイメージができませんし、数学的な証明などは無理です。
存在実例が分かれば認識を改めることができると思います。

回答No.2

banakona · ベストアンサー

＃１です。

先日の図は汚くてスミマセン。なぜか最近、図がずれます。以前はちゃんと表示されていた図もずれています。なぜだろう。

凹んでいてもいいなら、もっと簡単な例がありました。

下図で２７０度＋９０度＋９０度＝４５０度

お礼

再度の回答ありがとうございます。
どうも正多面体構造のような頂点ばかり考えていたようです。
当たり前といえば当たり前ですが、その面に更に図形を重ねることが空間では可能でしたね。

不規則な形というか、断面もＸ、Ｙ、Ｚ３面あり、
かなり大きな角度が採れることも分かりました。

１の図は頂点としてすっきり受け入れることができましたが
２の図は何となく違和感がありました。
暫く考えてみて、これが空間の特性だということでまとめてみました。

回答No.1

banakona

＞立体図形の１つの頂点の内角の総和が３６０度以上になることはありますか？

正四面体や正１２面体のような通常？の凸多面体では「ない」でしょう。

でも、凹んだ部分があってもいいなら「あり」です。

　例えば、正２０面体の各面に正四面体を貼り付けたような立体を考えてください。この立体のとがった部分ではなく、根元の部分に注目します。
　正四面体の頂点には３つの正三角形が集まっていますが、１つは貼り付け面になるので２つで、内角の和は６０＋６０＝１２０度。
　正２０面体の頂点には５つの正三角形が集まっているので、正四面体も５つ。よってこの頂点（凹んでいるけど）の内角の和は１２０×５＝６００度となり、３６０度を超えます。

　「根元」がイヤなら、正２０面体の面に、上記例とは凹凸逆向きに正四面体を貼り付け、貼り付け面を両多面体もろとも取り払った立体はどうでしょう。これなら頂点っぽいところの和は、やはり６００度となります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
このような底面を頂点とみなす発想はありませんでした。

しかし、６００度ですか。立体図形には可能性を感じます。