食塩水の問題について

質問

問題）2つの食塩水A、Bがあります。濃さの比は8：5で、Aの食塩水300gとBの食塩水150gを混ぜると濃さは14％になります。Aは何％の食塩水ですか。
上記の問題で、ABに含まれる食塩は63gとわかるのですが、単純に63gを8:5ですとAの食塩水は13％になります。濃さの比8:5でひっかっています。正解はAの食塩水の濃さは16％です。
　よろしくお願いします。

回答No.16

kaede_h

比が…お好きなんですね(　^ω^)・・・
小中学校あたりでの先生の影響でしょうか・・・？

でも、凄く良い事だと思いますよ!!
数学は答えが１つでも、解き方は無数にある…そこが面白さの１つですからね。

なお、比で解く方法は他の方々が書いてるようなので
（きちんとは読んでいませんが…）そちらにお任せしますね。

さて、私の解き方についてですが。

＞実際が2倍でない場合も仮定のX倍として解くものでしょうか？
・・その通りです！
「8%と仮定して～」という言い回しでもいいですし、
8:5なので「Aの濃さを(8)として～」などと考えても全く同じ事です。

＞↑は、8％・5％の”仮定”で31.5gなので、
＞1:1の割合で混ぜたことにはならないとおっしゃっているのですね。
ええ、その通りです。
理解して頂けたようですね。

ただ、どの解き方が良いかは人それぞれですから、
もしよければ・・今回分かった解き方の全ての方法を教えてあげてください。

その中で、彼にどれがしっくりくるのかを選ばせてあげることで、
算数・数学へより興味をもたせる近道になるのではと思いますよ。
おせっかいながら・・・

それでは。

お礼

kaede_hさん、ありがとうございました。いろんな解き方があることあらためて知ることができました。思考錯誤しながら、楽しみながら解いていきたいです。息子にも聞かれたらいろんな視点で、アドバイスできたらと思った次第です。また、行き詰ったら質問させていただきます。

回答No.15

kaede_h

こんばんわ。随分と難しい話になってるんですね…。

実は私、３年ほど学習塾で算数・数学を教えているのですが、
皆さんのお話の半分程度しか理解できませんでした。

もちろん仰る【定義】は正しいのですが、
食塩水の問題を扱うときには、
"各々の食塩水の中に含まれる塩の量を考える"というのが常套手段です。

つまり「含まれる塩の量＝食塩水の重さ×濃度」
という単純な計算だけで解けるので、比は…あまり使わないのです。

比の計算は、大人だってこんがらがってしまいますからね(　^ω^)・・・

私は回答No.1で
>Aに含まれる塩の量は300×(0.08)=24g。
>Bに含まれる塩の量は150×(0.05)=7.5g。
>合わせて31.5gになる。
と書きましたが、これは、要は…

「300gの食塩水が、もし8％なら、含まれる食塩の量は24g。
150gの食塩水が、もし5％なら、含まれる食塩の量は7.5g。
合わせて31.5gになるはずです。」

という意味だったんですね。

ただ実際はこの倍の63gが含まれていますので、
「ああ、濃度は仮定した8％・5％の倍。すなわち、16％・10％だったんだなあ」
と考えたのです。

なので、
＞※63gはAとBの1:1の割合で混ぜた31.5gの2倍、
という考え方では無いですし、1：1で混ぜて31.5gになるというのは間違いです。

…いかがでしょうか？
また分からなければ幾らでも聞いてください。
また質問が書いてないか、ちょこちょこ見るようにしておきますね。

あと一息ですよ！

お礼

早々の回答ありがとうございます。

>"各々の食塩水の中に含まれる塩の量を考える"というのが常套手段です。

私はどの問題を解くにも比を使っています。この問題も8:5とあるので、
比で簡単に解けるものと思っていましたが、食塩水を求める考え方が、やはり
大人になった私でも恥ずかしながら理解できないでいます。あらゆる問題を
比で解いている自分は、本当は比というものが理解できていないのです。
それでもって、息子に”あらゆる問題は比で解く”と言って教えているもの
なので、食塩水の問題のように問題そのものを理解できていないまま、比で
解くことを強要させることに疑問を自分なりに感じております。

>ただ実際はこの倍の63gが含まれていますので、
>「ああ、濃度は仮定した8％・5％の倍。すなわち、16％・10％だったんだなあ」
>と考えたのです。

8:5は比であり割合でもあるので、8％・5％は”仮定”とおっしゃらなくても
いいような気がしますが・・。このような問題はおのおのすべて仮定して
解くのでしょうか？仮定と実際は違うので、この問題は塩の量が2倍だった
のでそれにつれて濃度も2倍なので16％と求められましたが、実際が2倍でない
場合も仮定のX倍として解くものでしょうか？

>※63gはAとBの1:1の割合で混ぜた31.5gの2倍、
>という考え方では無いですし、1：1で混ぜて31.5gになるというのは
>間違いです。

↑は、8％・5％の”仮定”で31.5gなので、1:1の割合で混ぜたことには
ならないとおっしゃっているのですね。

>あと一息ですよ！
誠に感謝いたします。よろしくお願いいたします。

回答No.14

nattocurry

> 私なりに解釈しますと、塩の総量はc=63gとわかっているので、Bの濃度は（63-a）。

単なる書き間違いかもしれませんけど、大事なところなので指摘しておきます。

(63-a)は、Bの食塩の量です。
Bの濃度は、(63-a)/150　です。

お礼

ご指摘、ありがとうございます。
（63-a）はBの食塩の量でした。

また、お気づきの点がありましたら、ご指導お願いいたします。

回答No.13

nattocurry

> 混ぜることは、まったく考えておらないとはどういうことでしょうか？

濃度の比に関する式は、混ぜる前の状態での比較式だからです。

a／300：b／150＝8：5　　・・・・・・(1)

これになることは判るんですよね。

aもbも「食塩の量」です。
「食塩水の濃度」は、a／300とb／150です。

次に、混ぜたあとの食塩水の濃度が14%なので、

(a＋b)／(300＋150)＝14／100

となります。これは最初からお解かりなんですよね。
その結果、

a＋b＝63　　・・・・・・(2)

になったんですよね。

であれば、(1)と(2)の連立方程式を解くだけです。

お礼

回答番号：No.12で、
>AとBを何gずつ混ぜたかは、塩の総量cを求めるときに必要な情報であって
>AとBの濃度の比での計算には、まったく必要のないものです。

↑文が引っかかってました。
私なりに解釈しますと、塩の総量はc=63gとわかっているので、Bの濃度
は（63-a）。あとは、もともとの濃度を基準にした比が8:3で求める
ことで導くことができるのですね。塩の総量がわからないと問題には
ならないですよね。
>AとBを何gずつ混ぜたかは・・AとBの濃度の比での計算には、まったく
必要がない。
↑で述べられているのは、量を基準にして比を求める場合は必要と
いうことですよね。

>もし、どうしても食塩水の「量」の比も考慮したいのであれば、
>(食塩水Aの濃度×食塩水Aの量)：(食塩水Bの濃度×食塩水Bの量)＝16：5
>という式を立てましょう。
>そうすれば、
>食塩水Aの濃度×食塩水Aの量×5＝食塩水Bの濃度×食塩水Bの量×16
>(a／300)×300×5＝((63－a)／150)×150×16
>となります。
>これの両辺を300で割ると、濃さの比で式を立てたときの
>(a／300)×5＝((63－a)／150)×8

確かに↑の食塩水の「量」で比で求めたら、a=48となり、もともとの
濃度の比で求めたのと同じ答えになりました。

濃度で比を立てる、食塩の量で比を立てるの違いがわかってきたような
気がします。

回答No.12

nattocurry

私の回答への質問は、私の回答に対してレスを付けてくださいね。

前回の回答では、食塩水Aに含まれる塩の量をsにしましたが、aに変更します。

> nattocurry様が＃5での回答で、比を使用して求めています。
> a／300：(63－a)／150＝8：5
>
> もともとの食塩の濃さの比が8:5。ABの食塩水を2:1で混ぜれば
> ABの食塩の量の比は16:5なので、
>
> a／300：(63－a)／150＝16:5
>
> にならないといけないんじゃないか？と思ったのですが・・。

ここでは、混ぜることはまったく考えていません。

食塩水Aの濃度：食塩水Bの濃度＝8：5
という、最初に提示された条件だけをもとに、比の式にしただけです。

それぞれの食塩水の量は関係ありません。

このままで、計算を進めると、

食塩水Aの濃度×5＝食塩水Bの濃度×8

となります。あくまでも、濃度を基準にした式です。

食塩水Aに含まれる塩の量をa[g]、食塩水Bに含まれる塩の量をb[g]とすると、

食塩水Aの濃度＝a／300
食塩水Bの濃度＝b／150

なので、
食塩水Aの濃度×5＝食塩水Bの濃度×8
に代入すると、
(a／300)×5＝(b／150)×8
となります。

一方、食塩水Aと食塩水Bを混ぜたものを食塩水Cとし、食塩水Cに含まれる塩の量をc[g]とすると、

食塩水Cの濃度＝c／(300＋150)
となります。

また、
c＝a＋b
も成り立ちます。

食塩水Cの濃度は14%と提示されているので、
食塩水Cの濃度＝c／(300＋150)＝c／450＝14／100
c＝14／100×450＝63
となり、食塩水Cに含まれる塩の量は63gとなります。

すなわち、
a＋b＝63
b＝63－a
となります。

これを、
(a／300)×5＝(b／150)×8
に代入すれば、
(a／300)×5＝((63－a)／150)×8
となります。

AとBを何gずつ混ぜたかは、塩の総量cを求めるときに必要な情報であって、AとBの濃度の比での計算には、まったく必要のないものです。

> もともとの食塩の濃さの比が8:5。ABの食塩水を2:1で混ぜれば
> ABの食塩の量の比は16:5なので、
>
> a／300：(63－a)／150＝16:5
>
> にならないといけないんじゃないか？と思ったのですが・・。

「食塩の濃さ」と書いている時点で、混乱している様子が解るような気がします。
食塩の量と、食塩水の量と、食塩水の濃さは、別の次元で考えましょう。

食塩水の「濃さ」の比が8：5。
ABの食塩水の「量」の比が2：1であろうと、食塩水の「濃さ」の比が8：5であることには変わりません。
「濃さ」の比が8：5のものを、2：1の比の「量」で混ぜただけです。
そして、a／300：(63－a)／150　というのは、あくまでも「濃さ」の比です。それを＝で結ぶ右辺には、やはり「濃さ」の比を持ってこなければなりません。

もし、どうしても食塩水の「量」の比も考慮したいのであれば、

(食塩水Aの濃度×食塩水Aの量)：(食塩水Bの濃度×食塩水Bの量)＝16：5

という式を立てましょう。

そうすれば、

食塩水Aの濃度×食塩水Aの量×5＝食塩水Bの濃度×食塩水Bの量×16

(a／300)×300×5＝((63－a)／150)×150×16

となります。

これの両辺を300で割ると、濃さの比で式を立てたときの

(a／300)×5＝((63－a)／150)×8

と同じ式になります。

お礼

nattocurry様、回答ありがとうございます。htms42様と考え方を進め
させていただくうえで、nattocurry様の比の式を使って展開して
いただきました。申し訳ございませんでした。よろしくお願いします。

>ここでは、混ぜることはまったく考えていません。
あくまでも濃度を基準にした式です。
>食塩水Cに含まれる塩の量は63gとなります。
>AとBを何gずつ混ぜたかは、塩の総量cを求めるときに必要な情報で
あってAとBの濃度の比での計算にはまったく必要のないものです。
>a／300：(63－a)／150　というのは、あくまでも「濃さ」の比です。
それを＝で結ぶ右辺には、やはり「濃さ」の比を持ってこなければ
なりません。

ABの食塩水の結果63gがどうしても引っかかっております。

混ぜることは、まったく考えておらないとはどういうことでしょうか？
AとBを何gずつ混ぜたかは塩の総量cを求めるときに必要な情報で
あってAとBの濃度の比での計算にはまったく必要のないものとはどういう
ことでしょうか？

混ぜた結果が63gでbの濃度（63-a）を式に表しており、また既に問題で
は濃さは14%と言ってますので、混ぜたことになっているのではないで
しょうか？

食塩水の濃さの比は8：5。ABの食塩水を何g混ぜようと変わらないので、
AとBを濃度の比での比で表すと
a／300：b/150＝8:3
になることはわかります。また、これではaの濃度は求めることは
できないので、ABの混ぜた結果の63gを持ってきて（63-a）をBの濃度と
していることもわかります。

ただ、nattocurry様がおっしゃられている>文がやはり、理解できない
でおります。

回答No.11

htms42

＞持ち込んだ塩の量とは、AとBが混ざる前のもともとの状態という意味
でしょうか？AB混合した結果、63gを食塩の量の比16:5でAの食塩の量を求めてましたので63gの結果は比でも16:5で式を立てないとだめではないかと・・。
比を分数に変えてみても？です。

繰り返しになります。
混合溶液の中には塩が６３ｇ含まれています。
このうち（ｓ）ｇがＡから入ってきたとすると（６３－ｓ）ｇがＢから入ってきています。
もしＡとＢから同じ量取り出して混ぜたとすると（ｓ）と（６３－ｓ）の比はＡ、Ｂの濃度の比になります。
ｓ：（６３－ｓ）＝８：５
もしＡから取り出した量がＢから取り出した量の２倍であれば
ｓ：（６３－ｓ）＝１６：５・・・・（１）
です。
これは塩の量で比を取っています。

今の場合はＡから３００ｇ、Ｂから１５０ｇ取り出しています。
３００ｇの中に（ｓ）ｇの塩が含まれているというのは元のＡの濃度です。ｓ／３００はＡの濃度です。Ｂの濃度は(６３－ｓ)/１５０になります。
濃度の比は８：５で変わりません。

ｓ／３００：(６３－ｓ)／１５０＝８：５　　（２）

（２）を変形すると（１）になります。

塩の量で考えるか、濃度で考えるかで１６：５、８：５の違いが出てきます。６３ｇという数字を使えば塩の量だというのではありません。
ｓ／３００と（６３－ｓ）／１５０ということで元のＡ，Ｂの濃度になっています。

＃１０で分数に変えてみたのは２つの式が一致することを見るためです。

（ｓ／３００）／（(６３－ｓ)/１５０）＝８／５
（ｓ／(６３－ｓ))(１５０／３００）＝８／５
（ｓ／(６３－ｓ))／２＝８／５
と変形すれば
ｓ／(６３－ｓ)＝１６／５
がでてきます。

Ａ、Ｂから取り出す溶液の量がいつも簡単な比になっているとは限りませんので（２）の式で考える方に一般性があります。
私が（１）の式を書いたのはもともとの質問文で
ｓ：（６３－ｓ）＝８：５
を使っておられたからです。

混ぜるために用いた溶液の量、　　３００ｇ、１５０ｇ
その溶液の濃度　　　　　　　　　８：５
その溶液に含まれていた塩の量、　（ｓ）ｇ、（６３－ｓ）ｇ

混合溶液の量　　　　　　　　　　　４５０ｇ
混合溶液の濃度　　　　　　　　　　１４％
混合溶液の中に含まれている塩の量　６３ｇ

６３／４５０＝０．１４
であるということは分かっておられるはずですから
ｓ／３００、(６３－ｓ)／１５０
が濃度になるということも分かるはずです。

お礼

＜塩の量で考えるか、濃度で考えるかで１６：５、８：５の違いが出てきます。６３ｇという数
を使えば塩の量だというのではありません。

まず、濃度の比と食塩の量の比は違うということですね。濃度の比8:5は、AとBの100g同士の
濃さの割合なので、食塩の量と同じ意味ではないと・・・。

回答NO#2の
＜２：１で混ぜた時の食塩の量の比は１６：５になります。
＜６３×（１６／２１）＝４８
＜（４８／３００）×１００＝１６

↑は、食塩の量の比で導いた結果ということですね。63gという食塩の量の結果に対しての
６３×（１６／２１）＝４８。

＜もしＡとＢから同じ量取り出して混ぜたとすると（ｓ）と（６３－ｓ）の比はＡ、Ｂの
濃度の比になります。
＜ｓ：（６３－ｓ）＝８：５

同じ量を取り出して混ぜたとすると・・で、「Ａから３００ｇ、Ｂから１５０ｇ取り出しています。」
なのに、なぜ、同じ量を取り出して混ぜていることになるのでしょう？

まだ、濃さと食塩の量の比の違いの理解に苦しんでおります。

補足

すみません。回答番号：No.8でお応えされてましたね。
＜濃さはＡ，Ｂを何ｇ取り出すかと無関係です。
＜元の食塩水Ａの濃さ（＝濃度）が２０％であれば１０ｇ取り出しても１００ｇ取り出しても濃さは
２０％です。含まれている食塩の量は変わります。

＜もしＡとＢから同じ量取り出して混ぜたとすると（ｓ）と（６３－ｓ）の比はＡ、Ｂの
濃度の比になります。
＜ｓ：（６３－ｓ）＝８：５

↑から、同じ量を取り出そうが、違う量を取り出して混ぜようが、濃度（濃さ）の比8:5
は変わらない。これは濃度で式を立てて導くので、
ｓ：（６３－ｓ）＝８：５
が成り立つ。

また、食塩の量で導く場合は、
＜２：１で混ぜた時の食塩の量の比は１６：５になります。
＜６３×（１６／２１）＝４８

↑の結果になるということですね？

回答No.10

htms42

＞nattocurry様が＃5での回答で、比を使用して求めています。
s／300：(63－s)／150＝8：5

これは持ち込んだ塩の寮が８：５であるとしている式ではありません。
ｓはＡから入ってきた塩の量、６３－ｓはＢから入ってきた塩の量です。ｓ／３００と（６３－ｓ)/１５０はもとのＡ、Ｂでの濃度です。
だから８：５になります。
持ち込んだ塩の量の比が１６：５であるというのであれば
ｓ：（６３－ｓ）＝１６：５
です。上の式を変形するとこの式が出てきます。
比を分数に変えてみるといいでしょう。
ｓ／(６３－ｓ)＝１６／５
と
（ｓ／３００）／（(６３－ｓ)/１５０）＝８／５
です。

お礼

回答番号：#4で、
＜１：１で混ぜた時の食塩の量の比が８：５ですから
＜２：１で混ぜた時の食塩の量の比は１６：５になります。
＜６３×（１６／２１）＝４８
＜（４８／３００）×１００＝１６

63gの食塩の量は、ABの食塩水を2:1で混ぜた結果から食塩の量の比
が16:5になるので、Aから取り出した食塩は48gです。
＜これは持ち込んだ塩の量が８：５であるとしている式ではありません。
持ち込んだ塩の量とは、AとBが混ざる前のもともとの状態という意味
でしょうか？AB混合した結果、63gを食塩の量の比16:5でAの食塩の量を求めてました
ので63gの結果は比でも16:5で式を立てないとだめではないかと・・。
比を分数に変えてみても？です。

回答No.9

htms42

＃４の補足に新しい質問が書かれています。
＞食塩の量を■g、Ａの濃度をｘ％とて求めたら、
A）■/300=x/100　
B）■/150=0.625x/100　
A+B=63　3x+0.9375x=63　x=16 ∴Aの濃度は16%

これと私の書いたものとが同じであるということが分からないという質問ですね。

ｄａｅｒｔ３４２様は
式が出てくると全て計算してしまっています。
私は式が出てくると約せる数字は全て計算の前に約してしまいます。

（３００ｘ／１００）＋（１５０×（5/13)ｘ／１００）＝（４５０×１４／１００）
分母の１００が共通です。消してしまいます。
分子の３００，１５０、４５０は１５０で約せます。
（これは「式の両辺に１００／１５０をかけた」ということと同じです。）

２ｘ＋(５／８)ｘ＝３×１４
ｘ＝１６

＃８のお礼の中に書かれている内容はＯＫです。

お礼

１５０で分子の３００，１５０、４５０を約されたのが、私が
都度計算してしまったのと違ってきたのでしたね。

すいません。また、お願いします。

nattocurry様が＃5での回答で、比を使用して求めています。
s／300：(63－s)／150＝8：5

もともとの食塩の濃さの比が8:5。ABの食塩水を2:1で混ぜれば
ABの食塩の量の比は16:5なので、

s／300：(63－s)／150＝16:5

にならないといけないんじゃないか？と思ったのですが・・。
63gの食塩の量は、ABの食塩水を2:1で混ぜた結果なので、
ABの食塩の量の比16:5が右辺に立たなければと思いました。

回答No.8

htms42

＞もともとA、Bの食塩の濃さの比が8:5なので、A、Bの食塩水2:1の取り出しにつれて、A、Bの濃さの比も2:1で取り出していることになる。

ＡをＢの２倍取り出したときに２倍になるのは食塩の量です。
濃さの比が８；５であれば食塩の量の比が１６：５になります。
濃さと食塩の量はべつのものです。

濃さはＡ，Ｂを何ｇ取り出すかと無関係です。
元の食塩水Ａの濃さ（＝濃度）が２０％であれば１０ｇ取り出しても１００ｇ取り出しても濃さは２０％です。含まれている食塩の量は変わります。

お礼

＜ＡをＢの２倍取り出したときに２倍になるのは食塩の量です。
＜濃さの比が８：５であれば食塩の量の比が１６：５になります。
＜濃さと食塩の量はべつのものです。

これは問題文の「Aの食塩水300gとBの食塩水150gを混ぜると・・」
→Aの食塩水がBの食塩水の2倍で混ぜていることから、ＡをＢの２倍取り出
したときに２倍になるのは、あくまでも”濃さの比ではなく食塩の量”
ということですね。濃さの比はもともと8:5なので、何gどうし混ぜても
　 変わることはなく、変わるのは、取り出す割合につれて"食塩の量の比"が
　 変わってくると・・・。

再度修正します。
＞もともとA、Bの食塩の濃さの比が8:5なので、A、Bの食塩水2:1の取り出しに
つれて、A、Bの濃さの比も2:1で取り出していることになる。
は、
→
もともとA、Bの食塩の濃さの比が8:5なので、A、Bの食塩水を2:1で混ぜれば、
A、Bの"食塩の量の比"は16:5になる。

回答No.7

htms42

＞もともとA、Bの食塩の濃さが8:5なので、A、Bの食塩水2:1の取り出しにつれて、A、Bの濃さも2:1で取り出していることになる。もともとの食塩の濃さ8:5を2:1にすると、食塩の濃さは16:5になる。要するに食塩水を取り出す割合と食塩の濃さも同じ割合になるということですよね？

「濃さ」という言葉の使い方が「？」です。「濃さ」を表す量が「濃度」です。ＡとＢの濃度の比が８：５ですから「濃さ」の比も８：５です。Ａ，Ｂの質量には関係ありません。
ＡとＢを１：１の割合で混ぜる（１００ｇと１００ｇとで混ぜる）と混合溶液の中に入ってくる「食塩の量」は８：５になります。
２：１の割合で混ぜる（２００ｇと１００ｇとで混ぜる）と混合溶液に中に入ってくる「食塩の量」は１６：５になります。

食塩の量と濃さとは同じものではありません。濃さは食塩の量と溶液の量との「割合」です。「割合」を％で表しています。

お礼

＜「濃さ」という言葉の使い方が「？」です。
修正します。

もともとA、Bの食塩の濃さの比が8:5なので、A、Bの食塩水2:1の取り出し
につれて、A、Bの濃さの比も2:1で取り出していることになる。

「濃さ」を[濃さの比]としました。続きの余計な文面を削除しました。

＜Ａ，Ｂの質量には関係ありません。２：１の割合で混ぜる（２００ｇと１００ｇとで混ぜる）と・・・

問題文は、「Aの食塩水300gとBの食塩水150gを混ぜると」とあるが、A、B
の食塩水の量がおのおの600g、300gでも良いので、Ａ，Ｂの質量には関係ないということですね。

また、
＜ＡとＢを１：１の割合で混ぜる（１００ｇと１００ｇとで混ぜる）と・・

（50gと50gとで混ぜる）でも同じことですね。