- ベストアンサー
二項定理
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
関連するQ&A
- 二項定理の応用が解けなくて困っています
以下に書く問題の答えを教えてください！ a^0=1, a^1=a, a^n=a(a-1)…(a-n+1), n>1とする。以下の等式を証明しなさい。 n n (a+b)^n=Σ( )a^k・b^(n-k) k=1 k どうか助けて下さい。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学的帰納法ぬきで二項定理を証明したい
こんにちは。たとえば、微分の公式 D(x^n)=nx^(n-1) を証明したいとき、数学的帰納法で証明することも出来ますが、それだと微分の結果の予想をしなければならず、初見者には天下り的でなんとなく不満が残ります。 できることなら、演繹的に示したい。 D(x^n)=nx^(n-1)においては、対数微分を使えば示せます。 そして、二項定理 (a+b)^n = Σ[k=0,...,n](nCk) (a^k) (b^(n-k)) ですが、これを数学的帰納法ぬきで証明したいのです。 いいアドバイスをお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 2項定理の書き換え
[n/2]の意味がわかないので質問します。 (3,1)=3C1を表すことにして、(n,k)=nCkとします。 (x+1/x)^n=Σ(k=0→n)(n,k)*x^(n-k)*1/{x^(n-k)}= Σ(k=0→[n/2])(n,k)*[(x^(n-2k)+1/{x^(n-2k)})] [n/2]はガウス記号だとしてn=3として計算すると、[3,2]=1から、上記の右辺が、 (3,0)(x^3+1/{x^3})+(3,1)(x+1/x)となり2項定理の計算結果と合いません。どなたか２項定理の計算結果にあうような、[n/2]の解釈をおしえてください。 この変形は正17角形を作図するとき、16次方程式をx^8で割って、(x^8+1/{x^8})を含む8次方程式に直すとき利用されていました。 どなたか、[n/2]の正しい解釈をおしえてください。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- Σと二項係数の入った計算
次の2つの等式 ・Σ(-1)^k nCk 1/k^2 = -1/n Σ1/k (ただし、Σはkが1からnまで動くものとする) ・Σ(-1)^k nCk Σ1/m = -1/n Σ(-1)^k nCk (ただし、はじめのΣはkが1からnまで動くものとし、2つ目のΣはmが1からkまで動くものとする) が成り立つことの証明がよくわかりません。(nCkは二項係数を表すものとする) (類似の等式：Σ(-1)^k nCk 1/k = -1/n Σ1/k (ただし、Σはkが1からnまで動くものとする)は、-log(1-z)=log(1+1/(1-z)) の両辺を巾級数に展開したときのz^nの係数を見比べることによって示せました。) 上記の証明(またはそのヒント)と、一般的に言えそうな拡張などがあれば、教えて頂けると大変有り難く存じます。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 二項係数に関する 証明問題についてです
参考書なども色々調べたのですが いいものに当たらず 自分で解いてみるも あと一歩まではいけるのですが 証明すべき数値に至ることができません。分からないので どなたか力を貸していただければと思います（＞＜） さっそくですが、次の二式を用いてある式を証明せよという問題なのですが、使う二式は (1+x)^n= Σ(k=0～n) nＣk x^k nＣk=n!/((n-k)!・k!) (0≦k≦n) です。 そして、証明する式は以下の式です。 Σ(k=0～[n/2]) nＣ2k =2^(n-1) です。 ちなみに aＣb はa個の中からb個を選ぶ組み合わせ という意味で書きました。本当は２行１列の行列のような形で書きたかったのですが、見にくそうなので Ｃで書いておきました。また、Σの範囲の上限[n/2]は、ガウス記号で、n/2を超えない最大の整数ということです。このガウス記号の扱い、消し方についてもよく分からないのかもしれません。どなたか分かる方 ご指導いただけると助かります。よろしくお願いしますm(__)m
- ベストアンサー
- 数学・算数
