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背理法の問題なのですが
a、b、cを自然数にするとき次の事を示せ。 (1)aが３の倍数でないならばa^-1は３の倍数である。 (2)a^2+b^2=c^2ならばa,bのうち少なくとも一つは３の倍数である。 (1)はわかりました。 (2)は解説を読んでもよくわかりません。 [解説] a,bともに３の倍数でないと仮定する。 (1)によりa^2+b^2を３で割った余りは1+1=2 一方ｃ^2を３でわると余りは0か1となり矛盾するからa,bのうち少なくとも一つは３の倍数である。 ＞(1)によりa^2+b^2を３で割った余りは1+1=2 ＞一方ｃ^2を３でわると余りは0か1となり (1)のどこを利用しているのかがよくわかりません。 あと何故ｃ^2を３でわると余りは0か1になるのでしょうか？ 数字を代入してみるとそのとおりなのはよくわかるのですが・・。 よろしくお願いします。
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- springside
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追加です。 (1)のa^-1はa^2-1のことでしたか。 それでは、 ＞(1)によりa^2+b^2を３で割った余りは1+1=2 は、以下のように【】内を補えばわかります。 (1)により【a^2-1は３の倍数だから、それに1を足したa^2は「３の倍数＋１」ということになって、３で割った余りは１。b^2も同様に３で割った余りは１。だから、】a^2+b^2を３で割った余りは1+1=2
お礼
＞(1)のa^-1はa^2-1のことでしたか。 でした～本当に申し訳なかったです。 やっと解説が理解できました。 どうもありがとうございました。
補足
皆さまの回答に優劣をぜんぜんつけられないので、詳しく説明していただいた順しました。 ありがとうございました。
- springside
- ベストアンサー率41% (177/422)
（１）に関し、a^-1は1/aですか？ それが「３の倍数」というのは変な気がしますが。 （２）は、（１）がなくても以下のように解けます。 任意の自然数は、3n、3n+1、3n+2のいずれかで表されるが、それぞれの乗は、 (1) (3n)^2=9n^2=3*(3n^2)・・・３で割った余りは０ (2) (3n+1)^2=9n^2+6n+1=3(3n^2+2n)+1・・・３で割った余りは１ (3) (3n+2)^2=9n^2+12n+4=3(3n^2+4n+1)+1・・・３で割った余りは１ となるから、任意の自然数の２乗を３で割った余りは０か１である。 （余りが２にはならないということ） さて、a、bの両方とも３の倍数でないと仮定すると、それぞれの２乗を３で割った余りは１になるから（上記の(2)又は(3)のケース）、a^2+b^2を３で割った余りは１＋１＝２である。 一方、右辺のc^2を３で割った余りは０か１なので、これは矛盾である。 よって、a、bのうち少なくとも１つは３の倍数である。
お礼
ごめんなさい、a^-1→a^2-1でした。 申し訳なかったですm（__）m (3n+1)^2、(3n+2)^2もあまりは１になるんですよね、なんとなく前のが１なら次のは２になりそうな気がしてたんですが、なるほどです。
- liar_adan
- ベストアンサー率48% (730/1515)
>＞(1)によりa^2+b^2を３で割った余りは1+1=2 >＞一方ｃ^2を３でわると余りは0か1となり >(1)のどこを利用しているのかがよくわかりません。 a^2+b^2 = (a^2-1)+(b^2-1)+2 と見ているためです。 >あと何故ｃ^2を３でわると余りは0か1になるのでしょうか？ これも(1)の応用で、 (i)cが3の倍数ならc^2も3の倍数 (ii)そうでない場合は c^2 = (c^2-1)+1 です。
お礼
やっと解説が理解できました。 ありがとうございました。
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- 締切済み
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お礼
こんばんは、いつもありがとうございます。 タイプミスしてしまいました、ホントにごめんなさいm（__）m やっと解説が理解できました。 すごく参考になりました。 ありがとうございました。