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複素関数に関する質問
oodaikoの回答
- oodaiko
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２. まず変換 f(z)＝1/zについて注意します。この変換は z≠0 かつ|z|が有限の場合は ちゃんと定義できて、z平面Ｚからw平面Ｗへの１対１変換になりますが、 z＝0 のときおよび|z|が∞になる時は定義されません。 そこで無限遠点 [∞] という仮想的な点を考え（通常の∞とは意味が異なる ので[ ]をつけて区別します） |z| ＝ ∞ なら z ＝ [∞] とします。 （対遇を考えれば z ≠ [∞] なら|z| ＜ ∞ すなわちzは通常の複素数です。） そして z＝0 なら f(z) ＝ [∞] および z ＝ [∞]なら f(z)＝0 と定義します。 すると fは 無限遠点も含めたz平面 Ｚ∪{[∞]} から無限遠点も含めた w平面 Ｗ∪{[∞]} への１対１変換と考えることができるので、逆変換 g が定義でき、 g(w)＝ g(f(z)) ＝ z となります。 明らかにg(w) = 1/w ですから f(f(z)) ＝ z です。 （１）複素平面上の原点をＯと書きます。 点Ｐ,Ｑの座標を表す複素数を同じ記号Ｐ，Ｑで書きます。混乱はしないでしょう。 単位円 |z| = 1 上の２点 Ｐ,Ｑ を通る直線は 実数 xをパラメーターとして z-Ｑ = x(Ｐ－Ｑ) と表せます。 変形して z = Ｐx + Ｑ(1-x) がＰ,Ｑ を通る直線の方程式になります。 さて |Ｓ－Ｐ~|=|Ｓ－Ｑ~|= |Ｓ| となるような複素平面上の点Ｓを考えます。これは定義から解るように 三角形ＯＰ~Ｑ~の外心ですからＰ=－ＱまたはＰ＝Ｑでない限り一意的に存在します。 （Ｐ＝Ｑとなるのは次の（２）の場合です。Ｐ=－Ｑの場合はＳ＝[∞]とします。） そして |Ｓ－Ｐ~|^2 ＝ (Ｓ－Ｐ~)(Ｓ－Ｐ~)~ ＝ (Ｓ－Ｐ~)(Ｓ~－Ｐ) ＝ ＳＳ~+ＰＰ~－(ＳＰ+Ｓ~Ｐ~) ＝|Ｓ|^2 ＋|Ｐ|^2 － (ＳＰ+Ｓ~Ｐ~) ＝ |Ｓ|^2 なので ＳＰ+Ｓ~Ｐ~＝ |Ｐ|^2 …… (1) 同様にして ＳＱ +Ｓ~Ｑ~＝ |Ｑ|^2 …… (2) であることも解ります。 さて準備が出来た所で |w －Ｓ|^2 ＝ |1/z －Ｓ|^2 を計算してみます。 |1/z －Ｓ|^2 ＝ |１－zＳ|^2 / |z|^2 ですからまず分子の |１－zＳ|^2 を計算します。 |１－zＳ|^2 ＝ (１－ zＳ)(１－zＳ)~ ＝ (１－ zＳ)(１－z~Ｓ~) ＝ １＋ |z|^2 |Ｓ|^2 － (zＳ＋z~Ｓ~) ＝ １＋ |z|^2 |Ｓ|^2 －（ ＰＳx + ＱＳ(1-x) ＋ Ｐ~Ｓ~x + Ｑ~Ｓ~(1-x) ） ＝ １＋ |z|^2 |Ｓ|^2 －（ |Ｐ|^2 x + |Ｑ|^2 (1-x) ） 【 (1)と(2)を使います 】 ＝ |z|^2 |Ｓ|^2 【Ｐ，Ｑは単位円の点だから|Ｐ|^2 ＝ |Ｑ|^2 ＝１ より 】 したがって |w －Ｓ|^2 ＝ |1/z －Ｓ|^2 ＝ |１－zＳ|^2 / |z|^2 ＝ |z|^2 |Ｓ|^2 / |z|^2 = |Ｓ|^2 よって |w －Ｓ| ＝ |Ｓ| となりました。 これはwがＳを中心とする半径 |Ｓ|の円周上の点であることを示しています w ＝Ｏ,w ＝Ｐ~,w ＝Ｑ~ はいずれもこの式を満たしますから 答えは 「（Ｓを中心とし）原点とＰ~とＱ~を通る円」 （Ｓ＝[∞]のときは原点とＰ~とＱ~=－Ｐ~を通る直線） です。 （２）上とほとんど同じですが上の回答で単純にＰ=Ｑとしても、直線の方程式からして 異なるのでうまく行きません。単位円に１点Ｐで接する直線の方程式は Ｐに直交しＰを通る直線ですから実数 xをパラメーターとして z－Ｐ = Ｐxi と書けます。（複素平面上でiをかけることはπ/2だけ回転させることであることを 思い出して下さい） 変形して z ＝ Ｐ(１－xi) となります。 こんどは |w －Ｐ~/２|^2 ＝ |1/z －Ｐ~/２|^2 ＝ |１－(zＰ~)/２|^2 / |z|^2を計算してみます。 例によって分子だけ計算すると |１－(zＰ~)/２|^2 ＝ （１－ (zＰ~)/２）（１－(z~Ｐ)/２） ＝ １＋ （|z|^2 |Ｐ|^2）/ ４ －（ ＰＰ~(１－xi) ＋ Ｐ~Ｐ(１＋xi) ） / ２ ＝ （|z|^2 |Ｐ|^2）/ ４ となります。途中の細かい計算は（１）と同様なので自分で確かめて下さい。 （z~ ＝ Ｐ~(１＋xi) と ＰＰ~ ＝ |Ｐ|^2 ＝１ がポイントです。） よって上と同様にして |w －Ｐ~/２| ＝|Ｐ~/２| であることが解ります。すなわち答えは 「原点とＰ~/２を通る円」 です。 （３）最初に述べたようにfによる変換を２回行なうと元の図形に戻るのですから どんな図形をfで変換したら 「点 i を中心とし原点を通る円 」になるかが 解ればそれが 「点 i を中心とし原点を通る円 をfで変換した図形」になります。 「点 i を中心とし原点を通る円」は 「（iを中心とし）原点とＰ＝(√３) /２ ＋ i /２ および Ｑ＝(－√３) /２ ＋ i /２ を通る円」 ですから（１）の結果を考えると答えは 「単位円 |z| = 1 上の２点 Ｐ~＝(√３) /２ － i /２ および Ｑ~ ＝(－√３) /２ － i /２を通る直線」 となります。
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