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複素関数に関する質問
oodaikoの回答
- oodaiko
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「^ は階乗」 ではなくて 「^ は巾乗」 ですね。 Ｚ は複素数全体の集合。Ｒ は実数全体の集合とします。 数式をここに書くのはかなり面倒なのであまり細かい計算までは書きません。 ヒントを書くので残りの部分は御自分で補って下さい。 1. 共役演算は和と積に関して「同型」です。 すなわち任意のz ,w ∈ Ｚ に対して (z+w)~ = z~ + w~ および z~w~ = (zw)~ となる。これはいいでしょう。複素数演算の基礎ですし簡単に示せますから。 するとこれを繰り返し使って 実数を係数とする任意の多項式f(z)に対して f(z~)= (f(z))~ となる ことが分かります。これは実数の場合は a~ = a となるからいえることで 係数が複素数なら成り立ちません。 よって z が代数方程式 f(x)＝０ の解ならば f(z)= 0 = 0~ = (f(z))~ = f(z~) なので z~もf(x)=0の解になることが解ります。 ２次方程式 x^2－2ax＋a^2＋b^2 の解は解の公式を使って x = a ± b i であることが解ります。そして a + b i = z ,a - b i = z~ ですから x^2－2ax＋a^2＋b^2 = (x - z)(x - z~) と因数分解出来ます。 zとz~は代数方程式 f(x)＝０ の解だったので f(x) = 0 は (x - z)および(x - z~)で割り切れます。 よって (x - z)(x - z~) すなわち x^2－2ax＋a^2＋b^2 でも割り切れます。
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