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再びスイマセンガ、今度は複素数についてお願いします。

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お礼率 8% (42/518)

x^3-2(a+1)x^2+bx-b-8=0・・・(1)がある。
これは(x+2)(x^2-2ax+4a+8)=0∴x=2,a±√a^2-4a-8

ここまではいいのですが、

(1)が虚数解をもち、複素数平面上でその三つの解の表す点が一直線上に並ぶのは、
a^2-4a-8<0かつa=2即ちa=2のときである。

この複素数平面上でその三つの解の表す点が一直線上に並ぶ条件の求め方が分かりません。どうすればよいのですか?
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2
レベル9

ベストアンサー率 36% (17/46)

ども~
虚数解を持つということは、根号内が負であればよいのでa^2-4a-8<0です
さらに、3つの解が一直線に並ぶのは、虚数解が第1象限と第4象限に存在しているため、実数解のX=2が実軸上なのでX=2の線上に虚数解が来ないといけません。つまり、X=a±√a^2-4a-8の実部である「a」が2でなければなりませんね?ですから、答えが「a^2-4a-8<0かつa=2」なのです。
お礼コメント
vikkyi

お礼率 8% (42/518)

本当に有難うございました。第1象限と第4象限に在ることにきずきませんでした。これでようやくわかりました。本当にありがとうございました。
投稿日時 - 2001-12-09 16:49:02
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  • 回答No.1
レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

実数係数の3次方程式ですから, 3個の実数解 あるいは, 1個の実数解と2個の複素解(互いに複素共役) のどちらかですね. すでに解かれていますように x=2,a±√{a^2-4a-8} で,複素解になりうるのは2番目の a±√{a^2-4a-8} です. 複素共役ですから実数部は等しいわけで, 複素解2つを結ぶ直線は z=a,すなわち虚軸に平行な直線です. この上に x=2 が ...続きを読む
実数係数の3次方程式ですから,
3個の実数解
あるいは,
1個の実数解と2個の複素解(互いに複素共役)
のどちらかですね.

すでに解かれていますように
x=2,a±√{a^2-4a-8}
で,複素解になりうるのは2番目の a±√{a^2-4a-8} です.
複素共役ですから実数部は等しいわけで,
複素解2つを結ぶ直線は z=a,すなわち虚軸に平行な直線です.
この上に x=2 がないといけませんから,a=2 が必要です.
あとは,a=2 のときに本当に複素解になっているかどうかのチェックが必要で,
それは平方根の中身に a=2 を入れて負になっていることで確認できます.
お礼コメント
vikkyi

お礼率 8% (42/518)

早い解答有難うございます。x=a±√{a^2-4a-8が共役の複素数になることに、
きずきませんでした。これで、ようやくわかりました。ホントに有難うございました。
投稿日時 - 2001-12-09 16:46:17

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