球の表面積（途中過程もお願いします。)

質問

半径がaの球を書きます。中心は原点にとって下さい。そこから積分を使って球の表面積を出して下さい。途中過程を宜しくお願いします。

回答No.7

Umada

stomachmanさんの、一般の場合まで拡張しての補足で十分すぎるほどと思っていたのですが、これでも納得頂けないとなると大変ですね。

まずstomachmanさんがおっしゃっている「線分で近似」の意味ですが、これは「滑らかな関数f(x)を、区間xからx+dxについて線分で近似する」ということです。側面積そのものを近似するのではありません。
こやつを軸の周りに回転させたことで張られる面の面積を求めてみましょう、という論理展開なのですが理解されてますか?

何となればもう少し形状の単純な図形について考えてみましょう。
　線分　y/r+x/h=1 (ただし0<=x<=h　r, hは正)　　　(1)
をx軸周りに1周した場合に作られる円錐面の面積を求めてみます。
答えから先に言えばπrh・(1+(r/h)^2)^(1/2)です。

区間x～x+dxにおいてこの関数を線分で近似すると(もとから線分ですから近似も何もないのですが)
　(x, r(1-(x/h)), (x+dx, r(1-((x+dx)/h))
の2点の間を結ぶ線分になります。その長さは2点間の距離の公式から直ちに
　((dx)^2+((r/h)・dx)^2)　　　(2)
の平方根であることが分かります。当然
　dx(1+(r/h)^2)^(1/2)　　　(3)
になります。これが円環(私が「皮」と表現したもの)の幅になります。
周囲長は2πy(x)ですから
　2πy(x)=2πr(1-(x/h))　　　(4)
(3)と(4)を掛けて、0からhまでxで積分すれば
　πrh・(1+(r/h)^2)^(1/2)　　　(5)
になるはずです。
もしkeroroさんが最初に試された方法(円環の幅をdxと置く)なら最後の答えは単にπrhにしかならず、因子(1+(r/h)^2)^(1/2)だけ違ってきます。

円環の幅はxの増分dxに対して定数倍((1+(r/h)^2)^(1/2))だけ常に大きいことをご理解下さい。ここがポイントです。
今の場合は円環の幅とdxの比は一定でしたがxに依存して変化してもよいのです。
stomachmanさんはこれを一般化して、円環の幅は√{1+ f'(x)^2}倍になると説明されているわけです。

補足

私はstomachmanさんのここの部分が分からないのです。
＞２点(x,f(x))と(x+dx,f(x+dx))を結ぶ線分で近似できます。即ち(x,f(x))と
(x+dx,f(x)+f'(x)dx )を結ぶ線分です。
f(x+dx)がf(x)+f'(x)dxになる所を説明して下さると幸いです。
それから、近似の事については分かりました。そこもひかかっていたもんで。