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円を直線で切り取った部分の面積の求め方。

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お礼率 87% (7/8)

積分の知識を失って早や数年、どなたか以下の面積の求め方を教えてください。

円:原点Oを中心とする、半径aの円
直線:X=k(-a<=k<=a)

この直線によって切り取られる円の左側の面積Sをkであらわしたいんです。
よろしくお願いいたします。
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  • 回答No.2
レベル4

ベストアンサー率 100% (2/2)

積分で解くのでしたら、以下のように解けばよいのではないでしょうか?文だけ読んでも解りにくいので、紙に書き出してみて下さい。図も描いてみて下さい。

まず、円は原点中心、半径aの円なので、X軸よりも上側の円周は、次の式で表されます。
x^2+y^2=a^2 移項してyについて解くと y=√(a^2-x^2) (今はx軸の上側だけ考えているので『±』は付けません)

よって,面積Sを求める積分の式は
S=2∫(-a~k){√(a^2-x^2)}dx   ・・・(1) (-aが下で,kが上です) (ただの積分だと上だけ求めて終わりになってしまうので、2倍します)

ここで、置換積分をします。x=a・cosθ ・・・(2) と置いて,すべてをθで表すと、
√(a^2-x^2)=√(a^2-a^2・cos^2θ)=a・sinθ (sin^2θ=1-cos^2θより)
x=-aのとき,-a=a・cosθより, θ=π 
x=k のとき,k=a・cosθより, θ=arccosθ(k/a) (cosの逆関数)
(2)の両辺をθで微分すると,dx/dθ=-a・sinθ  よって,dx=-a・sinθ・dθ

以上より、(1)式は、次のように変形できます。

S=2∫(π~arccos(k/a))a・sinθ(-a・sinθ・dθ)
=-2a^2∫(π~arccos(k/a))(sinθ)^2dθ
=-a^2∫(π~arccos(k/a))(1-cos2θ)dθ  (cos2θ=1-2(sin2θ)^より)
=a^2[θ-(1/2)sin2θ](arccos(k/a)~π)  (-を消して積分区間を逆転)
=π・a^2-a^2・arccos(k/a)+(1/2)a^2・sin{2・arccos(k/a)}
=π・a^2-a^2・arccos(k/a)+k√(a^2-k^2)  

※ (1/2)a^2・sin{2・arccos(k/a)} は,a=a、頂角=2・arccos(k/a)の二等辺三角形の面積を表しています。
要は、円にx=kの直線を引いて,その交点(P、Qとおく)と原点Oを結んだときの二等辺三角形OPQ。
三平方の定理でPQの距離を求めると底辺PQ=2・√(a^2-k^2),高さは k です。
よってΔOPQ=(1/2)・k・2・√(a^2-k^2)=k√(a^2-k^2)

nagataさんの考え方は正しいと思いますが、扇形の面積は 2・π・a^2・{arccos(k/a)/2π}=a^2・arccos(k/a) です。
たぶん,(中心角/360度)のところで,360度=πとしてしまったミスなのでは・・・。360度=2πなので、こうなると思います。

あと、-a≦k≦0のときも、nagataさんの式は成り立ちます。kがマイナスだと、円の左側の面積=円ー扇形ー三角形 になりますが,
S=a^2・π-2a^2・arccos(k/a)+k√(a^2-k^2) の式で +k√(a^2-k^2) の部分は符号が(-)になるので,結局引いてるここと同じになります。

長々と申し訳ありませんでした。
お礼コメント
edtem

お礼率 87% (7/8)

丁寧な解答を頂き誠に有難うございました。助かりました。
投稿日時 - 2002-02-01 10:57:34
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  • 回答No.1
レベル8

ベストアンサー率 33% (10/30)

0<k<=aの時 円の左側の面積=円ー右側の面積 円の左側の面積=円ー(扇形ー三角形) 円の左側の面積=円ー扇形+三角形 S=a^2・π-2a^2・arccos(k/a)+k√(a^2-k^2)
0<k<=aの時
円の左側の面積=円ー右側の面積
円の左側の面積=円ー(扇形ー三角形)
円の左側の面積=円ー扇形+三角形
S=a^2・π-2a^2・arccos(k/a)+k√(a^2-k^2)

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