円と直線が囲む面積の積分（確率）
- 円と直線が囲む面積の積分を計算する問題です。
- 円と直線の交点を求め、その面積を求めるために積分を利用します。
- 円座標系に置換する方法やより簡単な計算方法についてアドバイスを求めています。
- ベストアンサー
円と直線が囲む面積の積分（確率）
「xy平面上で, x^2+y^2 ≦ 4 (x≧０， y≧０)を満たす任意の点(a,b)を選んだとき, aとbの和が√6以上となる確率はいくらか」 以上の問題の導出過程が分かりません。 x≧０， y≧０なので, y=√(4-x^2) y= -x+√6 の２式に囲まれる面積Sを「半径2の円を４等分した面積」(=π)で割った値になると考えました。 ２式から２つの交点を求めれば, S=∫{√(4-x^2)- (-x+√6)}dx というふうにSを求められるかと思います。ところが、この後の導出が分かりません。 この場合、円座標系に置換しても複雑になるだけですよね？ １項目の積分はどのように処理すればよろしいでしょうか。 それとも、もっと簡単な計算方法があるのでしょうか？ アドバイスよろしくおねがいします。
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数2
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
もっと簡単な計算方法があるのでしょうか？ ＞ x^2+y^2=4とy=-x+√6を連立で解いて2交点の長さを三平方の定理で 計算すると、結果は2になります。 従って、点(a,b)の範囲は、半径2の円で弦の長さが2の弓形(中心角 60°半径2の扇形から一辺が2の正三角形を除いた部分)になります。
その他の回答 (1)
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
求める (a, b) が存在する領域を図示することはできますか? ただ, きれいな数字にはならなさそうな気はするし, 「問題の導出過程」は普通「問題を導く過程」であって「問題を解く過程」ではないと思うんだが....
お礼
ご指摘ありがとうございます。 他の方の回答で解決しましたので、図については省略させていただきます
関連するQ&A
- 円の面積より積分の結果を求める
通常、√a^2-x^2の積分は x=asinΘと置いて置換積分を行うと答えが出ますよね？ でも式を二乗してx^2+y^2=r^2という形にすると秒殺で計算ができると教えてもらいました。 そこで質問です。 積分区間が0⇒1/2のとき √(1/2)-x^2という式の場合でもその円の面積として考えて簡単に出せるのでしょうか？ 区間が0⇒1/√2なら円の面積から1/4倍すればいいだけだと思うのですが積分区間が半径と異なってしまう場合は結局面倒なのでしょうか？ どうやって上記の式を円の面積と捉えて計算すればいいのかわからず質問しました。 この場合の計算式はどうなるのかお教えいただければ幸いです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 点と直線 大急ぎです。
3直線7x＋y－5=0…(1) x＋4y＋7=0…(2) 2x－y＋5=0…(3) に対して(1)と(2)の交点をA,(2)と(3)の交点をB,(3)と(1)の交点をCとる。 次の問に答えよ。 1問目）Aを通り、△ABCの面積を2等分する直線の方程式を求めよ。 1問目は解けました。 A(1,ー2)B(3,1)C(0,5) 答えは5y＋8x＋2=0 2問目）直線(3)上の点D(一2分の5,0)を通り、△ABCの面積を2等分する直線の方程式を求めよ。 3問目）Aを通り,BとCから等しい距離にある直線の方程式を求めよ。 2問目と3問目を教えて下さい。 明日までなんです。 お願い致します!!
- 締切済み
- 数学・算数
- 積分で面積を求める
「ｘｙ座標平面において、放物線C：ｙ＝ｘ＾２ および放物線C上の2点A（a,a^2)、B(b,b^2)が与えられている。ただしa>b。点Aおよび点Bにおける放物線Cの接線をそれぞれla、lbとして次の各問いに答えよ。 (1)接線la,lbの交点の座標を求めよ。 (2)放物線Cおよび2本の接線la,lbで囲まれている部分の面積Sを求めよ。 (3)a,bはab=-2を満たし、aが正の数の範囲で変化するとき(2)で求めた面積Sの最小値を求めよ」 という問題に取り組んでいます。 (1)la：ｙ＝2ax－a^2、lb：ｙ＝2bx-b^2と出て、交点の座標は、2ax－a^2＝2bx-b^2として出しました （a/2＋b/2、ab） (2)は2つの部分に分けて積分計算しようとしたのですが、うまくいきません。複雑すぎるのですが、何かいい方法はあるのでしょうか？ (3)は(2)が出ていないのでわかりません。 回答いただけるとありがたいです。宜しくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 平行四辺形の面積を2等分する直線
中学3年数学の問題です y=(1/4)x^2の放物線がある。 放物線nと直線mの交点をA,Bとする。 A(-8,16),B(6,9) 原点をOとし、四角形AOBQが、平行四辺形になるように、点Qをとる。 傾き2で、平行四辺形AOBQの面積を2等分するような直線の式を求めよ。 の導き方を教えていただきたく。 答えは、 y=2x+29/2 になるとのことです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学「点と直線」の問題が分りません。教えてください
(1)２直線 L：ax+2y=1、m：x+(a+1)y=aがある。 Lとｍは一致するとき定数aの値を求めてください。（途中式もお願いします。） (2)３直線x－2y+1=0・・・(1)、x+6y－23=0・・・(2)、3x+2y－5=0・・・(3)があります。(1)と(2)、(2)と(3)、(3)と(1)の交点をそれぞれA,B、Cとするとき、△ABCの面積を求めてください。また、点Bを通り、△ABCの面積を２等分する直線の方程式を求めてください。（途中式もお願いします。） ちなみに答えは、(1)1 (2)面積8、y=－x/2+7/2 です。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分
座標平面において、連立方程式 ●【(x＾2)/3】＋【(y＾2)/2】≦1 ●y≦√(2x) ●y≧0 の面積が直線y=axで二等分されているとき、定数aの値の求めかたを教えてください。 【(x＾2)/3】＋【(y＾2)/2】=1とy＝√(2x)との交点のx座標は x=√3/2 【(x＾2)/3】＋【(y＾2)/2】=1とy＝√(2x)との交点をPとおいてそのＰからの垂線をP'とおくと 面積OPAの面積をS1とすると 面積OPP'＋扇形PP'A 面積OPP'(1/2)*(√3/2)*√2*(√3/2) 扇形PP'Aの面積が分からないので教えてください ∫(√2/√3)*【(√3-(x＾2))】はどのように現われたのでしょうか？ また面積OPA'を求めかた後どのような求めかたをすればいいのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 2直線に挟まれた点の確率を教えてください
2直線y=ax+bとy=cx-d (x,y>0,c>a>0,b,d>0)に挟まれた、交点の上の部分をS1、下の部分をS2とします。この2直線y=(a-n)x+b,y=(c-1+n)x-d (1>n>0)を移動させ、交点の上部をS3、下部をS4とします。この時S1,S2内のそれぞれの点M1,M2が、S3,S4内に存在する確率を求めたい。 １）点M1の確率をP(M1)とすれば、P(M1)=(S1⋂S3)/S3と考えて良いでしょうか。 2)これを求めるために、S1⋂S3を通るx=uなる直線を考え、3つの直線で囲まれた面積を求め、u→∞として求めて良いでしょうか。 3)P(M2)=(S2⋂S4)/S4は、x,y>0なのでそのまま計算出来て、求める確率は、(S2⋂S4)/S4+(S1⋂S3)/S3と考えて良いでしょうか。
- 締切済み
- 数学・算数
- 円を直線で切り取った部分の面積の求め方。
積分の知識を失って早や数年、どなたか以下の面積の求め方を教えてください。 円：原点Ｏを中心とする、半径ａの円 直線：Ｘ＝ｋ（－ａ＜＝ｋ＜＝ａ） この直線によって切り取られる円の左側の面積Ｓをｋであらわしたいんです。 よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
なるほど、積分しなくても解けるのですね。 気がつきませんでした。ありがとうございます。