固有ベクトルの作り方

質問

固有値から固有ベクトルを作ったとき

　１　－１　１
　０　　０　０
　０　　０　０　　となりました。

ｘ＝（u,v,w）　とすると　u－v＋w＝０　です。

(1)　w＝－u＋v　とすると　ｘ＝c1（1,0,－1）＋c2（0,1,1）
(2)　u＝v－w　　とすると　ｘ＝c1（1,1,0）＋c2（－1,0,1）

ここから対角化の計算をしたりすると成分の違う行列になっても
問題は起きないんでしょうか？というか、違うベクトルになるこ
と自体はどうなんでしょう？ご教授ください。

回答No.1

e_o_m · ベストアンサー

単に基底の取り方の問題なので、(1)(2)の場合ともに同じ空間を張って（表して）います。

固有ベクトルをP1,P2,P3を並べた行列 P=(P1 P2 P3) を用いて行列Aを対角化するときの計算を思い出してもらえば、固有ベクトルの取り方によらず、対角行列は同じになりますので、特に問題はありません。

AP=(AP1 AP2 AP3)
=(αP1 βP2 βP3)
（固有値αに対する固有ベクトルP1、固有値βに対する固有ベクトルP2,P3としています）
=P([α,0,0,],[0,β,0],[0,0,β])
からP^-1 AP=([α,0,0,],[0,β,0],[0,0,β])
ですが、P2,P3の代わりに別のP2',P3'を使っても
(AP1 AP2' AP3')=(αP1 βP2' βP3')
となることからわかりますね。

蛇足なので意味がわからなければ以下はあまり気にしないで下さい。

このように適当に選んだ同じ固有値に属する固有ベクトルは直交していないので（異なる固有値に属する固有ベクトルは必ず直交しています）よくグランシュミットの規格直交化法を使って規格直交化しています。

なぜかといいますと、Aがエルミート行列（対称行列）のときユニタリ行列（直行行列）で対角化できる（上のPがユニタリ行列（直行行列）になるということ）という定理があるので、固有ベクトルを全て規格直行化しておくと
P^-1=P†　（Pの複素転置行列）
と簡単に計算できるためです。

お礼

完璧にすっきりしました!!
本当にありがとうございます。