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波の問題
物理の問題 深い水の表面に起こる波を調べると、水の各部分は鉛直な円運動を行っている。図の各円は、水の部分が行う周期T,半径aの等速円運動を表わす。各等速円運動の位相は右隣のものより1/8周期だけ進んでいる。 図の太線は時刻t_0にとける波の形を示す。 (1)波が速さcで一方向に伝わっていくとき、波より遅い速さvで波と同じ向きに進む舟から見た波の見かけの周期はいくらか。 (2)舟が波と同じ向きに波と同じ速さcで進む時、舟からは波は止まっていて、水が高さを変えながら流れていくように見かけられる。 この場合に、水面の最高点および最低点における舟から見た水の運動エネルギーを比較して、cを波長λの関数として表わす式を求めよ。ただし、重力加速度をgとする。 この問題で (1)は舟から見て、波の波長λは変わらず、波の速度がc-vとなるから、見かけの周期をT\'とすると、λ=cT=(c-v)T\'より T\'=cT/(c-v)となるのはわかります。 (2)について 水の各部分の半径はa,周期Tの等速円運動をしているから、静止した舟から見た水の速さをVとすると,VT=2πa ∴V=2πa/T また、波は右向きに進むから、水面の最高点と最低点で水の速さはそれぞれ右向きと左向きになる。 波が波と同じ向きに同じ速さで進む時、水の各部分はつねに波の形にそって流れているように見える。 このとき、舟に対する水面の最高点と最低点での速度をそれぞれV_1,V_2とすると、右向きを正として V_1=V-c=(2πa/T)-c , V_2=-V-c=(-2πa/T)-c 舟から見た時の力学的絵ねグリー保存則より、水面の最高点と最低点での運動エネルギーの差は、その間の重力の位置エネルギーの変化に等しいから、水の分子の質量をｍとすると、m(V_2)^2/2-m(V_1)^2/2=2mga ∴2πc/T=g よってT=λ/cであるから、c=√gλ/2πとなる。 ここで疑問なのが、波と舟は右向きに同じ速さで進んでいるのですよね。 なのになぜ、最高点と最低点での速さが異なるのでしょうか。 等速円運動をしているとした場合、速さをV=2πa/Tとできました。 波の速さはcとしている。等速円運動の速さVと波の速さcの違いはなんでしょうか？ V=cというわけではないのですか？ また、問題文にもあるように、舟からは波は止まってみえるのですよね。なのになぜ、最高点と最低点が速さを持つのでしょうか。 ここらへんの部分がうまく把握できません。 どのように解釈すればいいのかわかりません。 わかる方がいらっしゃいましたら教えていただけると助かります。
- sekihoutai
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波が伝わる速度と媒質の速度を混同してはいけません。 もともと水面の水は波が進んでいても，その場で円運動をしている と説明しています。その水に対して舟が波と同じ速度で進むから， 波形は止まって見え，水は流れて見えるわけです。 水面に浮いた葉っぱは波が進んでも上下するだけです。進む舟から みたら葉っぱが後方へ動いて見えるのはあたりまえですよね？
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お礼
確かにその通りですね。 丁寧な解説をしていただきありがとうございました。