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集合の濃度
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無限集合Xの濃度を card(X) で表します。 1. 無限集合Aから、有限集合B（要素数2）への写像全体の集合Map(A,B)は、無限集合Aのべき集合2^Aと一対一に対応します。ところで、一般に、無限集合Xとそのべき集合2^Xについて、 card(X) < card(2^X) が成り立ちます。したがって、 card(A)| < card(Map(A,B)) が成り立ちます。 2. 開区間I=(-1,1)は、実数全体の集合Rと一対一に対応します。また、(-1,1)^nは、n次元空間の点全体の集合R^nと一対一に対応します。ところで、一般に、 card(R^n)=card(R) が成り立ちます。したがって、 crad(I) = crad((-1,1)^n) が成り立ちます。
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- jmh
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２． ｙ ＝ ｘ/２＋１/２ で、(－１，１) と (０，１) を同一視。 Ｉ ＝ (０，１)、Ｊ ＝ Ｉ×Ｉ×…（可算"無限"個）とする。 φ: Ｊ → Ｉ を ｘ＝（０．ａｂｄｇｋ…， ０．ｃｅｈｌ…， ０．ｆｉｍ…， ０．ｊｎ…，…）に対し、 φ(ｘ) ＝ ０．ａｂｃｄｅｆｇｈｉｊ… とするとφは（おそらく）単射。 従って、Card(I) ≧ Card(J)。
お礼
ありがとうございます！ 悩みつづけてた問題がようやく理解できましたm(__)m
- jmh
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１． Card(Ａ) ≦ Card(ｍａｐ(Ａ，Ｂ)) は容易（たぶん）。 Card(Ａ) ≠ Card(ｍａｐ(Ａ，Ｂ)) を示す。 背理法。 Ｂ＝Ｚ/nＺとしてもよい（ｎ＞１）。 φ: Ａ → ｍａｐ(Ａ，Ｂ)は双射と仮定する。 ｆ: Ａ → Ｂを次のように定める: ｆ(ａ) ＝ (φ(ａ))(ａ)＋１。 このｆは、どの ａ∈Ａ の φ(ａ) とも一致しない。 これはφの仮定に矛盾する。
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お礼
ありがとうございます！ 非常に参考になりました。