重心の座標の求め方。

質問

簡単な問題で少し恥ずかしいのですが…。
y＝１－x^2　と　y＝0　のグラフで囲まれた部分の重心の座標を求めたい。
（条件として、この部分は一様であるとします。）

重心のx座標xGは、左右対称なので0になりますが、重心のy座標yGはどのように求めたらよいのでしょうか。
質点系の問題だと思うのですが…。
どなたか解き方のヒント・アドバイスをお願いします。
ちなみに答えは 2/5 になります。

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．

eatern27 さんの書かれていることはその通りです．
ただし，この方針ですと計算が大分面倒になります．

　　　　　　ｙ

　　　　　　│
　　　　　１│
　　　　　／│＼
　　　　／　│　＼
　　　／　　│　　＼
　　／　　　│　　　＼
　／＝＝＝＝│ｇ＝＝＝＼
／　　　　　│　　　　　＼
──────┼──────　ｘ
　　　　　　０

y = Y(G) の位置を ＝＝ で表してあります(単に，g と書きます)．
eatern27 さんの思想は，＝＝ の線を支点にしたモーメントを考えようというものです．
モーメントは 支点からの距離)×(質量)です．
距離が，y-g (＝＝より上)，あるいは g-y (＝＝より下)，
質量は横幅 2x (-x から xまで，x=√(1-y))と思って結構です．
つまり，＝＝より上側で，y ～ y+dy の間のモーメント(＝＝を基準)は
(1)　　(y-g) √(1-y) dy
全部で
(2)　　∫{g～1} (y-g) √(1-y) dy
同様にして，下側は
(3)　　∫{0～g} (g-y) √(1-y) dy
です．
重心の条件は，そこで支えて回転しないということですから，
(2)=(3)のはずです．
これが，eatern27 さんの式を今の場合に当てはめたものです．

で，(2)(3)の積分を計算し，
(2)=(3)を満たす g を求めればＯＫというわけなのですが，
ちょっと積分が面倒．

(2) = (2/15)(5g - 2) + (4/15)(1-g)^(5/2)
(3) = (4/15)(1-g)^(5/2)
なので，(2)=(3) をつくると (4/15)(1-g)^(5/2) がちょうどキャンセルして
g=2/5 が答だとわかります．

お礼

再び回答ありがとうございます。

>＝＝ の線を支点にしたモーメントを考えようというものです．
モーメントは 支点からの距離)×(質量)です．

なるほど。こういう考え方もできるのですね。参考になります。

∫{g～1} (y-g) √(1-y) dy ＝∫{0～g} (g-y) √(1-y) dy
で＃1の方の式になりました。
実際に計算をしてみましたが、確かに少し面倒ですね。
しかし、いくつかの解き方が知れて嬉しいです。とても参考になりました。

何度もすみません。
ありがとうございました。

回答No.2

siegmund

放物線が描けないので三角形になっていますが....

　　　　　　ｙ

　　　　　　│
　　　　　　│
　　　　　／│＼
　　　　／　│　＼
　　　／　　│　↑＼
　　／　　　│　↑　＼
　／　　※　│　↑　　＼
／　　※　　│　↑　　　＼
──────┼──────　ｘ

重心の y 座標(Y(G) と書きます)の定義は
(1)　　Y(G) = Σ y(i) m(i) / Σ m(i)
です．
図形を細かく分割して番号 i をつけ，
その部分の質量が m(i)，y 座標が y(i) です．
上の※ひとつひとつが分割したものにあたります．
もちろん，本当は無限に分割を細かくした極限を考えないといけません．

分割の１個を横幅 dx，縦幅 dy とします．
単位面積あたりの質量をρとしますと，
(2)　　m(i)　⇒　ρ dx dy
です．ρは場所によらないという仮定ですから，
結局分母分子でρはキャンセルします．
そりゃそうで，鉄の板だってプラスチックの板だって，
一様で形が同じなら重心の位置は同じです．

さて，分割を細かくした極限では和は積分に移行しますから，(1)は
(3)　　Y(G) = ∫∫y dy dx /∫∫ dx dy
です．積分領域は問題の図形の部分．
y について先に積分するほうが簡単で，
x を固定すれば y については 0 から 1-x^2 まで積分すればよいことになります．
図の↑にそって積分です．
つまり
(4)　　∫{0～1-x^2} y dy
を計算すればよい．
(4)の結果をさらに x について -1 から 1 まで積分すれば
(3)の分子ができあがりです(8/15 になります)．
全く同じようにして，分母も計算できます(4/3 です)．
確かに答は 2/5 になりますね．

なお，(3)の積分の順序は x について先に積分してもよいわけですが
(どこからどこまで積分するのか，注意)，
積分がやや面倒になります．
∫y √(1-y) dy なんて積分がでてきちゃいます．

なお，(3)の分母は図形の面積に他なりません．

お礼

回答ありがとうございます。

詳しい説明で分かりやすかったです。
Y(G) = ∫∫y dy dx /∫∫ dx dy
がどこかで見たことのある式だったのですが、数学で習ったものでした。
Ｍ＝∫∫σ dx dyのことですね。
Σ y(i) m(i) ＝∫∫y dy dx だということに、今気付きました。

> ρは場所によらないという仮定ですから、結局分母分子でρはキャンセルします．
なるほど。なにか違和感があったのですが、解決しました。

計算をしたところ、2/5 になり、とてもすっきりしました。

ありがとうございました。

回答No.1

eatern27

解き方のヒント
ｙ=ｆ(ｘ)とｘ軸、ｘ=a、x=bで囲まれた図形の重心のx座標をgとおくと、

∫[g から a](x-g)f(x)dx=∫[g から b](x-g)f(x)dx

という式が成り立つと聞いたことがある気がします。

y＝１－x^2　をx=f(ｙ)と表して、これのxとyを入れ替えれば、解けるのでは??

答えが2/5にならなかったら、すいません。

お礼

回答ありがとうございます。

少し考えてみたのですが、
>y＝１－x^2　をx=f(ｙ)と表して、これのxとyを入れ替えれば
の意味がよく分かりません。

∫[g から a](y-g)f(y)dy=∫[g から b](y-g)f(y)dy
（ｙ＝a、ｙ＝ｂで囲まれた重心のｙ座標をgとおくと…）
という意味になるのでしょうか？
もし良かったら、補足をよろしくお願いします。