遠心力はなぜ向心力の反対向きなのか

質問

題名の通りですが、円運動において、いままで生きてきた経験的には物理の教科書を見て、遠心力が向心力の反対向きは一応わかります。水の入ったバケツを廻したときの経験などで。しかし理屈的になぜなのかと考えるとよくわからなくなりました。直線的に加速して動く例（加速する電車の中に糸でぶら下げた球に加わる力など）ならイメージできますが、円運動ではいまいちピンときません。以下、自分なりによく考えて出した結論ですが合ってますでしょうか？

vベクトルからv’ベクトルに速度が変化した時、Δvはv’ベクトル－vベクトルです（Ａ）。向心力を求めるときはΔt秒間のとき向心力の加速度ベクトルはΔvベクトル÷Δtで求めます。この時、向心力の加速度ベクトルとΔvベクトルはΔtがゼロの近づくほど正確になり、円運動の中心に向かう方向です。

ここからが推測ですが、
vベクトルは向心力（m×aベクトル）によって速度を変えられてv’ベクトルになるが、本当はvベクトルは慣性の法則によりその等速直線運動を続けたいとしている。よってΔt秒間でv’ベクトルをvベクトルにしようとする－Δvベクトルが加わる。－Δvベクトルなのは上記のＡと逆で、vベクトル－v’ベクトルだから向心力とは逆方向という意味です。というわけで遠心力の加速度は－Δvベクトル÷Δt=－aベクトル、遠心力は－m×aベクトルだから、「－」が付いている通り向心力とは真逆の方向。

遠心力の方向の考え方として合っているか、違ってたらどのように考えたらよいのでしょうか。物理の本質にくわしい方、どうかよろしくお願いします。

回答No.8

sanori · ベストアンサー

Ｎｏ．３の回答者です。
お礼のお言葉をありがとうございました。

＞＞＞向心力はバケツを持つ手にかかる力、遠心力は水が向心力と反対の方向へいこうとしている力、と理解していましたが、違ってたんでしょうか？

正解を発表します。
「遠心力は水が向心力と反対の方向へいこうとしている力」は、合っていますが、
「向心力はバケツを持つ手にかかる力」は、誤りです。
水に直接かかっている向心力は、バケツの底から受ける（垂直）抗力です。
（液体なので、バケツの側面からも力は受けていますけれども、その合力はだいたいゼロなので、あまり考えなくてよいです。）

バケツの底の力はたしかに人間の腕の張力に関係していますが、水に対して働く向心力は、あくまでも、バケツの底の力なのです。

底に穴が開いていたら、遠心力によって外側に漏れていきますよね？

＞＞＞
私の質問で書いた説明では本質的に間違った説明でしょうか？NO1さんは間違っていないと言ってくださいましたが、sanoriさんもＯＫと思われますか？・・・Ｂ

残念ながら、間違いです。
特に、ベクトルの考え方が、です。
私の前回回答は、ベクトルについてのあなたの考え方の代替を示したものです。

＞＞＞
観測者も同じ円運動内にいて運動していると向心力に対し遠心力がないと釣り合わないというのは一応知ってはいますが・・・。
Ｂについてもしよろしければ、短くてもいいのでお返事ください。よろしくお願いします。

やはり、前回回答の冒頭に書いたことです。
「円運動においては、中心からの距離がいつも同じであるためには、
向心力と遠心力との和がゼロでなければいけないから」
です。

式で書けば、
向心力　＋　遠心力　＝　０

よって、
向心力　＝　－遠心力
あるいは
－向心力　＝　遠心力
です。

一方にマイナスをかけたものが、一方にマイナスをかけないものに等しいということは、
両者は絶対値が同じで向き（符号）が逆という関係にあるということです。
簡単な説明でしょ？

以上、ご参考になりましたら。

補足

回答ありがとうございます。私の証明が間違いだとわかってスッキリしました。
「円運動においては、中心からの距離がいつも同じであるためには、
向心力と遠心力との和がゼロでなければいけないから」
で理解するしかないようですね。式も一応納得できます。あまりに簡潔でいままでの自分の考えがはずかしくなります。

もう一つわからないことがあります。他の方の意見を参考すると、

＞張力とつりあっている外向きの力が働いている事になります。紐を切れば飛び出していくということで外向きの力が働いているということが実感できます。これを「遠心力」と呼んでいます

とあり、張力と遠心力が釣り合っている、という表現が正しいみたいですね。

＞回転している物体と一緒に運動をしている人から見た場合はどうなるでしょう。位置関係が変わりませんので物体は静止している事になります

もわかるのですが、例えば、球が糸によって円運動しているとき、糸の真横で見ていても静止しているように見える。しかし球の反対側でみていても静止しているように見える。それらの位置関係が同じに保たれているから、と分かるのですが、真横で見ていたら同じ円運動していると納得できます。しかし反対側から見ていると反対側での観測者の運動は球とは方向が逆の運動していると思うのです。
これはどう納得すればいいのでしょう・・・？

屁理屈ばかり言ってすみません。回答者のどなたに聞けばいいのかわかりませんでしたが、sanoriさんにもう一度書いてみました。
飽きられて返事されないかもしれませんが、もしよければお返事ください。ありがとうございました。

回答No.11

buturikyou

円運動は中心に向かう加速度を持った運動だと言うことは良くお分かりになられているようですね？

遠心力は円運動を静止させる加速度座標系において物体の状態を記述したときに出てくる仮想力です。電車が急発進したとしますと電車に乗っている人達は後ろにのけぞります。つまり加速度が前向きの乗り物に乗っている人には後ろ向きの慣性力と呼ばれる力が働くように見えるのですが遠心力もまた慣性力の一種なんです。動力は乗り物に付いていて人には付いていないことから加速に取り残されるだけ、すなわち物体の持つ慣性と呼ばれる性質による現象なのですが、乗り物に合わせた加速座標をとれば加速度と逆方向の力が出てきます。これは加速運動を静止させることによる数学による答えなのです。アインシュタインはこのことを本質であるように考えて一般相対性理論を建設しました。貴方の考え方は物理学の解答にはなっておりませんがさして的外れではなく工学系に進む場合には発明の才能であり理学系に進むならば新奇な発案に通じる大切な貴方自身の個性ですから大切になさってください！

お礼

回答ありがとうございます。教科書とにらめっこしてbuturikyouさんの仰ることも結論として出したりしました（相対性理論ではなく）。
しかし理屈で自分が納得しないと本当に理解したくない！っていう強情な心があって今回の質問のようなことも考えました。でも間違いだとハッキリしただけでもよかったです。間違ったままわかってるつもりになって人に教えたりしているのは一番いやですから。
専門家のようなそこまで詳しく知っていなくてもいいので高校物理くらいまではしっかりとすべて理解できたいものです。
励ましのお言葉、ありがとうございました。

回答No.10

sanori

Ｎｏ．３とＮｏ．８の回答者です。

＞＞＞屁理屈ばかり言ってすみません。
＞＞＞飽きられて返事されないかもしれませんが、

いえいえ。

＞＞＞
もう一つわからないことがあります。他の方の意見を参考すると、
＞張力とつりあっている外向きの力が働いている事になります。紐を切れば飛び出していくということで外向きの力が働いているということが実感できます。これを「遠心力」と呼んでいます
とあり、張力と遠心力が釣り合っている、という表現が正しいみたいですね。

張力とは限りません。
向心力は、
バケツの場合は、前回回答の通りバケツの底の抗力ですし、
天体の公転は重力です。

＞＞＞
＞回転している物体と一緒に運動をしている人から見た場合はどうなるでしょう。位置関係が変わりませんので物体は静止している事になります
もわかるのですが、例えば、球が糸によって円運動しているとき、糸の真横で見ていても静止しているように見える。しかし球の反対側でみていても静止しているように見える。それらの位置関係が同じに保たれているから、と分かるのですが、真横で見ていたら同じ円運動していると納得できます。しかし反対側から見ていると反対側での観測者の運動は球とは方向が逆の運動していると思うのです。
これはどう納得すればいいのでしょう・・・？

「回転している物体と一緒に運動をしている人」
における「回転」を　東→西　という回り方だとしましょう。
すると、回転軸はちょうど南北方向と一致しますよね。

「回転している物体と一緒に運動をしている人」が、北方向を見たとの景色の動き方と南方向を見たときの景色の動き方は逆になります。
それと同じことですよ。

では、この辺で。

お礼

何度も回答ありがとうございます。
つまり回転の中心を原点として点対称の反対側と考えれば運動としては同じになる、と理解しました。違ってるかも・・・。
まだ未解消な疑問も出てきたのですが、これ以上手間をかけさせるのは申し訳ないので、この辺で終わろうと思います。
物理に詳しい人に機会があれば直接聞いてみようと思います。
本当にどうもありがとうございました。

回答No.9

htms42

＃５、＃７です。
＞観測者も同じ円運動内にいて運動していると向心力に対し遠心力がないと釣り合わないというのは一応知ってはいますが・・・。

慣性力という言葉も観測者の運動が問題になるということもご存知の様です。であれば向心力と遠心力は記述する座標系が異なるのだから同時に出てくることはないということも承知のはずだと思うのですが。
だのに「向心力が遠心力と釣り合う」という表現を使われています。おまけにこれに同調する回答まであります。どうなっているのでしょう。
やはり力学の教科書を見直していただくのが一番速そうですね。

慣性力というのは加速度運動をしている系に乗っかって運動を記述するときに出て来る力です。加速度運動をとめて運動を見ていることになりますから中心向きの力というのは必要がないのです。向心力は出てきません。代わりに遠心力が出てくるのです。
「張力が遠心力と釣り合う」というのならば間違いではありません。「向心力が遠心力と釣り合う」というのは間違いです。
張力は記述する系がなんであれ存在する力ですが向心力、遠心力は記述する系に制約される言葉です。

前にも書いたように向心力は運動方程式に出て来る「質量×向心加速度」に対してつけた名前です。Ｆ＝ｍａの右辺につけた名前です。左辺は具体的な張力であったり、万有引力であったり摩擦であったりと色々です。いろんな力がこの加速度運動の原因になりうるのです。等式になっているから同じ力だと考えるとおかしくなります。
こういう風に名前を付けてしまったのが間違いの元ですね。
別に名前をつける必要はないのです。働きに対して代名詞的につけた名前なのに具体的な力だと思ってしまうのです。

運動方程式でＦ＝ｍａを考えればいいのですから右辺のｍａに無理に名前をつける必要はありません。左辺のＦにそのとき働いている力を入れればいいだけです。
力学の教科書によっては向心力という言葉も遠心力という言葉も出てこないものがあります。加速度系に乗った記述をするということがなければ遠心力は出てきません。回転運動を扱うとしても加速度が分かればいいのですからわざわざｍａの部分に名前をつける必要はありませ。どちらの言葉も使わずに回転運動を記述することは出来るのです。
ｒ^2に反比例する引力が働いている時の運動は楕円であること（ケプラーの法則）を示す計算に向心力という言葉は必要ありません。
極座標表示で
動径方向の加速度　　ｄ^2ｒ／ｄｔ^2－ｒ(ｄθ／ｄｔ)^2
動径に垂直な方向の加速度　２(ｄｒ／ｄｔ)(ｄθ／ｄｔ)＋ｒｄ^2θ／ｄｔ^2
であることが分かればそれで終わりです。働いている力は万有引力だけです。

観察者が行う運動によって記述が異なるということは理解しにくいことです。高等学校の物理の教科書では慣性力を扱うのを２０年ほど前に止めました。混乱するだけだからです。２つの立場の使い分けなんて出来ません。運動方程式の使い方だけでもアップアップの状態なんですから。でも最近復活したようです。運動方程式を立てずに静止の釣り合いの考え方で問題を解くことができるという便法で利用を主張する人がいるようです。アインシュタインの一般相対性理論に絡めて必要性を説く人もいるようです。混乱が続くでしょう。

「向心力」という言葉が混乱の原因ですね。

お礼

大変くわしい解説、参考になりました。ありがとうございました。全部は理解できませんでしたが、少しずつでも理解が深まるようにがんばります。物理・・・ムズカシイですね。ほんとに。

回答No.7

htms42

＃５です。

＞向心力はバケツを持つ手にかかる力、遠心力は水が向心力と反対の方向へいこうとしている力、と理解していましたが、違ってたんでしょうか？

この理解は誤っています。
向心力も遠心力も「回転している物体」に働いていると考えられる力です。回転の中心に働いている力ではありません。記述する座標系の違いによって意味が変わってきたのです。（回転している物体に働く力と回転の中心に働く力の違いと考えてしまったのが＃１の回答です。）

＃５で回転する物体の例を考えました。紐は中心に固定されています。この中心に働く力は物体に働いている力と作用・反作用の関係にあります。今の場合は張力です。記述する座標系の違いに関係なく同じ大きさの力が働いています。もし紐の代わりにバネばねを使っているとすると伸びは同じなのです。記述する座標系を変えたからといって伸びが変わるわけではありません。中心が遠心力や向心力を受けているのではありません。ただ円運動の内容（回転速度、回転半径、回転している物体の質量）によって張力の大きさが決まってくるのです。

地球が太陽の周りを回っている場合であれば万有引力です。地球が太陽からの引力の元に円運動をしています。向心力の内容を受け持っているのが万有引力です。運動の向きを変えて円運動を実現するために必要な力です。太陽は地球から力を受けています。これは作用・反作用の関係にあります。この力は円運動とは関係がありません。地球と太陽の距離が決まれば決まる力です。太陽の方向に動いていても太陽の方向と垂直な方向に動いていても距離が同じであれば働く力は同じです。
その位置で地球を円運動させるとしたらいくらの速度が必要かというときに向心力の表現が出てくるのです。（既に働いている万有引力にプラスして）新たに向心力が生じるのではありません。その時に働いている万有引力に対応した向心加速度になるような速度が決まるのです。向心力は（質量×向心加速度）という表現に対してつけた名前ですから力の実体は万有引力です。

バケツを持っている人の感じる力は円運動の中心にかかる力です。太陽にかかる力と同じです。

向心力を「中心に働いている力」とすると言葉の意味がおかしくなります。中心に働く力はいつも中心から離れる方向ですから「向心」ではないですね。「力を感じる」ということにこだわることによる混乱です。遠心力は観察者自体が回転していますから感じることが出来ます。でも静止座標系で出て来る向心力は感じることは出来ません。観察者は回転していないからです。回転を見る立場にいます。そこで回転の中心に観察者を置いてしまったのです。でもそこで感じる力は張力とか万有引力とかの具体的な力です。向心力ではありません。摩擦力や、斜面の垂直抗力などが向心力の実体である場合には中心に居ても感じることは出来ません。「向心力」は「質量×向心加速度」という表現に対してつけた名前なんですから。

向心力と遠心力は記述する座標系の違いのよって出てくるものですから「２つの力が同時に存在して釣り合う」なんてことはありえません。

回答No.6

owata-www

＃５さんの仰っていることが正解です。

電車についても、静止座標系と慣性座標系で見たときに２通りの記述ができます。

お礼

回答ありがとうございました！

回答No.5

htms42

遠心力と向心力は座標系の違いです。

紐のついた物体が水平面内で円運動をしているとします。
紐には張力が働いています。紐に働いている力は物体を中心向きに引っ張っているのです。この力が物体の運動の方向を常に変える働きをしています。運動の向きが変わっているので加速度が存在します。運動方程式はＦ＝ｍａです。Ｆは張力です。ａは運動の向きが変わることに対応する加速度です。具体的な表現はｖ^2／ｒです。円運動の場合、この加速度は円の中心に向いていますので向心加速度といいます。向心加速度に質量をかけたものは力になります。この表現に対応した力を「向心力」と呼んでいます。向心力は具体的な力ではありません。円運動があればこういう力が働いているはずだというｍｖ^2／ｒに対して付けた名前です。実際に働いている力は張力です。張力が向心力の中身です。
ここでの表現は物体が円運動をしているということを静止した座標系から観察して記述したものです。円運動を外から見ているので円を描いているというのが分かるのです。

回転している物体と一緒に運動をしている人から見た場合はどうなるでしょう。位置関係が変わりませんので物体は静止している事になります。でも紐に張力が働いていることも確かです。力が働いているのに動かないのですからつりあっている事になります。張力とつりあっている外向きの力が働いている事になります。紐を切れば飛び出していくということで外向きの力が働いているということが実感できます。これを「遠心力」と呼んでいます。
一緒に円運動をしている人から見ると外向き（中心と反対向き）ですが静止した座標系にいる人から見ると物体の飛んでいく方向は接線方向です。円の中心に向かって引っ張り込む張力がなくなったので慣性の法則に従って等速度の運動をするように変わってしまったのです。外向きに飛んでいく様に見えるのは観察者が回転しているからです。

静止座標系で見た場合は向心力の内容が張力でした。
回転座標系で見たときは張力と遠心力がつりあっていました。
どちらの立場であっても張力は変わりません。
遠心力と向心力とは同じ大きさで方向が反対というのはここから出てきます。

遠心力と向心力は作用・反作用の関係にあるのではありません。
Ａ、Ｂ２つの物体の間で力が働いているとします。Ａの立場で見たときの力ＦＡとＢの立場で見たときの力ＦＢの関係が作用・反作用です。ＦＡとＦＢとは大きさが等しくて方向が逆になります。

回答No.4

debukuro

あなたわかっていて理屈を捏ねているのですか
ベクトルなんて物を持ち出さなくても簡単な運動の法則で解決できるはずです
円運動だからこそ遠心力も向心力も働くのじゃないですか
直線運動なら働きませんよ

補足

回答ありがとうございます。わかってるか、わかってないかでいうとたぶんわかってないです。なので質問しているのです。すみません。電車の例もそうですが、そこで言いたかったのは遠心力のことではなく、「慣性の力」についてです。糸でぶらさがった球は電車の中の人からみると慣性の力、つまり電車の行く方向と反対の向きに力が加わっていると感じる、ということ言いたかったのです。遠心力も慣性の力らしいので、慣性の力は直線的に加速していく電車の例ではイメージし易いということを言いたいために書いたのです。説明不足で申し訳ないです。

debukuroさんは私の質問の遠心力の説明、合ってると思われますか？
本当に理屈の説明ですがそれが一番知りたいのです。よろしくお願いします。

回答No.3

sanori

こんばんは。

＞＞＞遠心力はなぜ向心力の反対向きなのか

円運動においては、中心からの距離がいつも同じであるためには、
向心力と遠心力との和がゼロでなければいけないからです。

＞＞＞円運動において、いままで生きてきた経験的には物理の教科書を見て、遠心力が向心力の反対向きは一応わかります。水の入ったバケツを廻したときの経験などで。

本当にわかっていますか？
水入りのバケツは、遠心力をわかりやすくするための説明ですが、
向心力については何も言っていないはずです。
果たして、水にかかっている向心力とはなんでしょうか？
（よろしければ補足に書いてみてください。）

＞＞＞円運動ではいまいちピンときません。以下、自分なりによく考えて出した結論ですが合ってますでしょうか？

普通に円運動の方程式を立ててみればよいです。
円運動は、当然ながら、
ｘ　＝　ｒsin（ωｔ）
ｙ　＝　ｒcos（ωｔ）
と表せます。
（円運動なので、ｒは定数）
これを微分していきます。

ｖx　＝　ｄｘ／ｄｔ　＝　ωｒcos（ωｔ）
ｖy　＝　ｄｙ／ｄｔ　＝　－ωｒsin（ωｔ）

ａx　＝　ｄｖx／ｄｔ　＝　－ω^2ｒsin（ωｔ）　＝　－ω^2ｘ
ａy　＝　ｄｖy／ｄｔ　＝　－ω^2ｒcos（ωｔ）　＝　－ω^2ｙ

Ｆx　＝　ｍａx　＝　－ω^2ｍｒsin（ωｔ）
Ｆy　＝　ｍａy　＝　－ω^2ｍｒcos（ωｔ）

向心力のベクトルは、（Ｆx，Ｆy）です。
速度のベクトルは、（ｖx，ｖy）です。

両者の内積は、
Ｆx・ｖx　＋　Ｆy・ｖy
　＝　－ω^2ｍｒsin（ωｔ）・ωｒcos（ωｔ）　＋　（－ω^2ｍｒcos（ωｔ））・（－ωｒsin（ωｔ））
　＝　－ω^3ｍｒ^2sin（ωｔ）｛　sin（ωｔ）cos（ωｔ）－cos（ωｔ）sin（ωｔ）　｝
　＝　０

つまり、速度のベクトルと向心力のベクトルは垂直です。
ということは、円運動をしている限り、速度は向心力の大小に直接影響を受けることはありません。

以上、ご参考になりましたら。

補足

大変くわしく数式まで出して説明くださりありがとうございます。参考になりました。
バケツの例のことですが、私、やっぱりまだちゃんとわかってないのかもしれませんね。他の方の疑惑もありますし・・・(^^ゞ
向心力はバケツを持つ手にかかる力、遠心力は水が向心力と反対の方向へいこうとしている力、と理解していましたが、違ってたんでしょうか？私の未熟を感じてしまいます。

微積分を利用して、内積で垂直を証明させる。というのも良いのですが、微積分、内積をまだ習っていない人にわかりやすく遠心力を説明するとしたら・・・ということで悩んでいるのです。
私の質問で書いた説明では本質的に間違った説明でしょうか？NO1さんは間違っていないと言ってくださいましたが、sanoriさんもＯＫと思われますか？・・・Ｂ
観測者も同じ円運動内にいて運動していると向心力に対し遠心力がないと釣り合わないというのは一応知ってはいますが・・・。

Ｂについてもしよろしければ、短くてもいいのでお返事ください。よろしくお願いします。

回答No.2

GOOD-Fr

> 遠心力が向心力の反対向きは一応わかります。水の入ったバケツを廻したときの経験などで

そうですか？この１文を読むだけで、なんにもわかってないのは確実だと思いますよ。
そもそも、向心力と遠心力を同時に感じることは不可能なんですが、それは理解してますか？

ややこしい理屈をこねる前に、基本にもどりましょう。

お礼

回答ありがとうございました。がんばります！

回答No.1

noname#160321

間違ってはいませんが、もっと簡単な考え方が出来るのでは？
つまり、向心力があるから遠心力がある、作用・反作用の法則ですね。
向心力を失えば飛んで行ってしまいます。

お礼

回答ありがとうございました。