（訂正版）解の存在

質問

前回問題のほうが間違っていましたので、質問し直させて頂きます（前回お答えくださった方、すみません・・）。
次の問題は、数学的に解ける問題なのでしょうか？
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a,b,c,dを自然数とし、
a+b+c+d=100,
a+2b+3c+4d=200
のとき
50a+10b-20c-40d
の最大値と最小値を求めなさい。
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回答No.2

springside · ベストアンサー

＃１のspringsideです。

最大値ですが、こんな感じでしょうか。厳密ではありません。

とにかくdを大きくすればよいと思われる（この辺が厳密ではない）のでd≦33ですから、１つ１つ調べます。
d=33のとき：a+b+c=67, a+2b+3c=68となるから、b+2c=1が導かれますが、これを満たす自然数b,cは存在しない。
d=32のとき：a+b+c=68, a+2b+3c=72となるから、b+2c=4が導かれ、b=2,c=1となる。この時a=65となるから、50a+10b-20c-40d=1970で、これが最大値（多分．．．）。

いずれにせよ、「dを１つずつ小さくしていって、その時のb,cを求める」という作業を地道に続ければいつかは終わりますから、「数学的に解けるか？」という問いに対しては「yes」でしょう。

お礼

度々ありがとうございます。
springsideさんのおかげで解決できました。

回答No.4

oshiete_goo

＃２のspringsideさんの答の補足説明です．

自然数の組(c,d)を指定して自然数a,bを決めるとみる．

a=c+2d≧1　からは，自然数c,dには特に制限なし．
一方，b=100-2c-3d≧1　から　2c+3d≦99・・・（１）
するとcが自然数より，dについては　(1≦)d≦32 となる．

cd平面で（１）の領域にあって，しかもc＞0,d＞0となる格子点について，
線形計画法の考え方で
k＝50a+10b-20c-40d＝1000+10(c+3d)・・・（２）
の最大値を探せば良い．
cd平面において，（１）の境界2c+3d＝99　は傾き-2/3の直線であり，一方（２）でk一定の直線は傾き-1/3の直線なので，
格子点(c,d)＝(1,32)の時　c+3d＝97　で，このとき　k＝1000＋10*97＝1970
それ以外の格子点は全て　c+3d≦96　を満たすので，k≦1960
よって求める最大値は,　(a,b,c,d)＝(65,2,1,32) のとき　1970・・・(答)

お礼

なるほど。
詳しく説明して頂いて感激です。
よくわかりました。おかげさまで次同じような問題にぶつかったら今度は解けると思います。

回答No.3

noname#24477

＃１までできていれば
２変数の線形計画の問題ということになるかと思います。
a=c+2d, b=100-2c-3d
これから
ａ，ｂ，ｃ，ｄは正で（実際には１以上）
２ｃ＋３ｄ＜１００
のとき
1000+10c+30d　の最大値と最小値を求めよ。
という問題です。

不等式の領域を図示できる人ならほとんど教科書にある例題通り。

最大値は、直感的に言って
ｃ＝１，ｄ＝３２　のときか
ｃ＝４８，ｄ＝１　のときのどちらかです。

図を描けばどちらかすぐに分かるし、計算してもたいしたことは無いでしょう。

お礼

そういえば、これって数学でやりましたね。図を書いて最大値と最小値を求める問題。何となく思い出してきました。ご回答ありがとうございました。

回答No.1

springside

最小値は何とかなります。

最初の２つの条件式から、a=c+2d, b=100-2c-3dとなるので、
50a+10b-20c-40d
=50(c+2d)+10(100-2c-3d)-20c-40d
=1000+10c+30d
となります。c≧1, d≧1なので、この式の最小値は、c=d=1の時（この時、a=3, b=95なので、「自然数」という条件に合致）で、1040です。

最大値の方はよくわかりません。とにかくdを大きくすればよいのですが、
a+b+c=100-dとa+2b+3c=200-4dを比較して、100-d＜200-4dですから、d≦33となりますが、ここからはしらみつぶし？

お礼

ありがとうございます！
何となくですが、最小値はbが大きいとき、（springsideさんはdの大きいときとおっしゃていますが）最大値はaが大きいときと予想しています。ひとまず最小値のほうは解決できて助かりました。
最大値のわかる方、お願いします。