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複素数の問題です。
複素数z=-2+2√3iの(複素)3乗根を求めよ。という問題で、 |z|=r=√(-2)^2+(2√3)^2=√16=4 絶対値|z|=r=4でくくり z=4(-2/4+i2√3/4)=4(-1/2+i√3/2)=4(conθ+isinθ) までは解けるのですが、この先の 偏角argz=θは、sinθ=-1/2、conθ=√3/2を満たす角なのでθ=2π/3+2kπ(k:整数) の部分が分りません。θ=2π/3+2kπはどのように求めればいいのでしょうか?tanインバースを使わない方法で教えてください。よろしくお願いします。
- guruguru82
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- matelin
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こんにちは。次の説明は、偏角の扱い方が、あなたの教えてもらったやり方とはちょっと違いますが、 私はこちらのほうがすっきりしていると思います。 問題のZの3乗根をWと置き、 Wの絶対値をr、Wの偏角をθ(0=<θ<2π:これが大切) と置きます。W=r(cosθ+isinθ)です。 さて、W^3=Zなので、W^3をドモアブルの定理で計算すると、 W^3=r^3(cos3θ+isin3θ) これがZ=4(cos2π/3+isin2π/3)に一致すればよいのです。 (Zの偏角は2π/3のみとしておきます。:これも大切) r^3(cos3θ+isin3θ)=4(cos2π/3+isin2π/3) 絶対値については、r^3=4より、r=4の3乗根 偏角についてですが、ここでちょっと考える必要があります。 上で、Wの偏角θについて、0=<θ<2πとしました。 これより0=<3θ<6πとなり、 その範囲で、第二象限の2π/3になるのは、 3θ=2π/3だけではありません。 3θ=2π/3、2π/3+2π、2π/3+4π の3つがあります。4つ目は2π/3+6πですが、 これは0=<3θ<6πの範囲を越え出てしまいますから、だめです。 上の3つの3θは、複素平面の上では、みな同じ位置を表しますが、 θはそうではありません。 θ=2π/9、8π/9、14π/9となり、 これらは複素平面上では異なる位置になります。 したがって、それに対応するWは異なる複素数なのです。 その異なる複素数3個が、すべてZの3乗根です。
- mister_moonlight
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ド・モアブルの定理を使って解くつもりなんだろうが、解くだけなら(解法が指定されていなければ)簡単なんだけどね。 z=-2+2√3*i より、z+2=2√3*i であるから両辺を2乗すると、z^2+4z+16=0. z^3=(z-4)*(z^2+4z+16)+64=64。
- banakona
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「θ=2π/3+2kπをどうやって導出すればいいのか」という意味でしたら、複素平面を描いて、そこに座標(-1/2、√3/2)または(同じことですが)座標(-2,2√3)の点をとり、原点からこの点に向かうベクトルが、X軸の正の向きとなす角を求めればいい。 すると、正三角形の内角・辺の長さ・高さの関係から一つの偏角として2π/3(degreeなら120度)が出てくるはずです。ただし前記ベクトルは左回り・右回りに2πの整数倍回転させても偏角は同じなので、+2kπ(k:整数)を加えます。 老婆心ですが、3乗根を求めるなら4の3乗根を求めて、偏角を1/3にするのをお忘れなく。
- ghiaccio
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偏角は一意に決まらないのでそのままの表記でOKです。
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