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ベクトル空間について
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- echoes_x86
- ベストアンサー率65% (21/32)
こんばんは. 質問を投稿する時には必ず推敲しましょう. 話し言葉で頭から書いても何を言っているのか伝わりません. 以下,適当な意訳(間違っている場合は補足をお願いします). 行列Mを以下の形の 2*2 行列であるとします. [ x y] [-y x] ただし,x,y∈ Cである(Cは複素数体). 簡単に言うと次の条件(*)を ・対角要素が等しく ・非対角要素の和が零 満たす行列です.これらの集合Vが 2*2 行列の空間の部分空間を作るかという問題とします. まず,k∈ Cに関して,スカラー倍 k*Mは次の行列です. [ k*x k*y] [-k*y k*x] これは上記の条件を満たしますから,k*MはVの元です. Vの別の元である以下の行列M'を考えます. [ x' y'] [-y' x'] これに関して,和 M + M' は以下の行列になります. [ x+x' y+y'] [-y-y' x+x'] これもVの元であると分かります(Vが部分空間である証明). さて,質問者様は以下のような「基底」を作って, Vが4次元であると考えたのでしょうか? [x 0] [0 0], [0 y] [0 0], [ 0 0] [-y 0], [0 0] [0 x] です.確かに和とスカラー倍で他を作れないので基底になりそうですが, これらはいずれもVの元ではありません. 上記の条件(*)を満たさないからです. Vの元である行列の要素のうち,自由に決まるのはxとyですから, 基底はこれに着目して作るのが良いでしょう. (例えば)次の2つの行列XとYになります. [x 0] [0 x], [ 0 y] [-y 0] a,b∈ Cとして, a*X + b*Y でVの全ての元を記述できますから(証明略), 基底はXとY,すなわち次元数は2です.
- koko_u_
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>単純に4つの行列にわければ、1次独立になるためそれでできると思っていました 意味わからん。 「単純に4つの行列にわける」とは? 何が「1次独立になる」? 補足にどうぞ。
補足
申し訳ありませんでした。 echoes_x86様にご回答いただいた通りです。きちんと推敲するようにします。
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文章が汚く、申し訳ありませんでした。推敲するようにします。 また、とてもわかりやすい回答をありがとうございます。参考になりました。