確率変数の式変形について

質問

Z(t)=√ρ*X(t)+√(1-ρ)*ε(t)

X(t),ε(t)　は互いに独立に標準正規分布に従う。

Z(t)<C の時に事象Ａが発生する。

X(t)=x の下での事象Ａの条件付発生確率を以下のように表す。

p(x)=Pr[Z<C | X(t)=x]
=Pr[√ρ*x+√(1-ρ)*ε(t)<C]
=Pr[ε(t) < (C-√ρ*x)/√(1-ρ)]
=Ｇ[(C-√ρ*x)/√(1-ρ)]　　　　※Ｇは標準正規分布の分布関数

このときに、
E[p(x)]=∫[-∞～∞]p(x)f(x)dx　　 ※fは標準正規分布の密度関数
=Ｇ(C) ←★　　　　　　

1つ前の式から★に至る式変形がわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.1

gef00675 · ベストアンサー

確率過程の問題ですが、ここまで計算がすむと、後は普通の積分の計算ですね。
ふーむ、★はE[p(x)]=Ｇ(C)、つまりρによらないのですね。興味深い結論です。

それでは、ρで微分しましょう。
新しい変数y=(C-√ρ*x)/√(1-ρ)とおかせていただきます。
p(x) = G(y)
dG/dy = f(y)
∂ｙ/∂ρ= Kx (Kはρだけの式）
ということで、
d/dρ(E[p(x)])=d/dρ∫p(x)f(x)dx
=∫∂/∂ρG(y)f(x)dx
=∫Kxf(y)f(x)dx .　　・・・（♯）
f(x)=1/√(2π)・exp(-x^2/2)だから、被積分関数は、
　Kxf(y)f(x)=Kx/(2π)・exp(-y^2/2-x^2/2)
expの中を計算すると、
y^2+x^2=((C-√ρ*x)/√(1-ρ))^2+x^2
=(x-C√ρ)^2/(1-ρ)+C^2
よって、被積分関数は奇関数とわかった。積分区間は[-∞,∞]だから、
（＃）の値は０、よって、E[p(x)]はρによらず一定。
ρ＝０のとき、p(x)=G(C)だから、
E[p(x)]=E[G(C)]=G(C)
以上

お礼

ご回答ありがとうございます！

y=(C-√ρ*x)/√(1-ρ)　

とおいて、∂ｙ/∂ρ　を計算すると

∂ｙ/∂ρ = (-x+C√ρ) / {2(1-ρ)√ρ√(1-ρ)}

となってしまい、「= Kx (Kはρだけの式）」とは表せませんでした…。
計算まちがっているのでしょうか？

回答No.2

gef00675

＞　∂ｙ/∂ρ = (-x+C√ρ) / {2(1-ρ)√ρ√(1-ρ)}

ごめんなさい。計算間違えました。あなたのご指摘通りです。
∂ｙ/∂ρがxの一次式になり、その一次式を積分変数にしたときに、奇関数の積分となるというのが正解でした。すみません。

以下のように訂正いたします。

E[p(x)]がρによらず一定であることを示すため、ρで微分する。
新しい変数y=(C-√ρ*x)/√(1-ρ)とおくと、
　　p(x) = G(y)
　　dG/dy = f(y)
であるから、
　　d/dρ(E[p(x)])=d/dρ∫p(x)f(x)dx
　　　=∫∂/∂ρG(y)f(x)dx
　　　=∫(∂ｙ/∂ρ)f(y)f(x)dx .　　・・・（♯）
f(x)=1/√(2π)・exp(-x^2/2)だから、
　　f(y)f(x)=1/(2π)・exp(-y^2/2-x^2/2)
　　　　　 =1/(2π)・exp(-1/2・((x-C√ρ)^2/(1-ρ)+C^2))
また、
　　∂ｙ/∂ρ = -(x-C√ρ) / {2(1-ρ)√ρ√(1-ρ)}
である。ここで、積分変数をｘからｗ＝x-C√ρにおきかえると、（＃）の被積分関数はｗの奇関数になっている。積分変数をｗにおきかえても積分区間は[-∞,∞]だから、（＃）の値は０となり、
E[p(x)]はρによらず一定であることがわかった。
ρ＝０のとき、p(x)=G(C)だから、
　　E[p(x)]=E[G(C)]=G(C)
よって、０≦ρ＜１に対しても
　　E[p(x)]=G(C)
である。

お礼

理解しました！
丁寧に教えていただきありがとうございました。