重ね合わせの原理

質問

sin(x)の重ね合わせの原理についてなのですが、
　sin(a*x1+b*x2)(=sin(a*x1)cos(b*x2)+cos(a*x1)sin(b*x2))　と　a*sin(x1)+b*sin(x2)　
が違うことを表す場合、何か途中にはさむべき式はあるのでしょうか？それともこの状態から<明らかに違う>と言いきっていいのでしょうか？

回答No.3

botojc0560

明らかに違います・・恒等式としては！！

一致する場合は方程式となって、ax1、bx2　に制限が加わってきます。

重ね合わせの原理？？
・・何かの勘違い、誤用ではありませんか。
単なる三角関数の公式の一つに過ぎません。

回答No.2

htms42

＞なるほど、＝が成り立つ場合というのもあったんですね。

変な納得の仕方をされているようで気になりました。
「成り立つ場合がある」という理解ではなくて「成り立たない」という理解です。
「＝が成り立つ」と言う場合を式にしてみてください。
sin(a*x1+b*x2)　と　a*sin(x1)+b*sin(x2)　にａ＝１、ｂ＝０を入れると
単にsinx1＝sinx1　になるだけです。確かに「＝」ですが　これだけのことであれば質問しなくても分かるはずです。質問されたということはこれが一般的に成り立つのかどうかということでしょう。
この場合しかないというのは一般には成り立たないということです。

重ね合わせの原理が成り立つという性質は線形性ともいわれています。
ｆ(ｘ＋ｙ)＝ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ)　
が成り立つのは関数ｆ(ｘ）が原点を通る直線を表す時だけだということからの名前です。ｓｉｎもｃｏｓもｔａｎもグラフは曲線です。
さらにｆ(ａｘ)＝ａｆ(ｘ)が成り立つというの同じです。比例のグラフです。上の式でｘ＝ｙとすると
ｆ(２ｘ)＝２ｆ(ｘ)
になりますから同じだということが分かります。

もしかしたら
波の場合の「重ね合わせの原理」と混同しておられるのではないのかなと思いました。ｓｉｎやｃｏｓで表される波が「重ね合わせの原理」を満たすという説明が物理の教科書にでてくるからです。ホイヘンスの原理という名前と一緒に出てきます。
その場合の「重ね合わせの原理」というのは
「ｆ１(ｘ)で表される波とｆ２（ｘ）で表される波とが同じ場所に存在すれば観測される波は　ｆ１(ｘ)＋ｆ２(ｘ)　になる」
というものです。

お礼

ご指摘ありがとうございます。
自分でやっててさすがに気付きました;
詳しい説明のおかげでつっかかりもなく解決できました。

回答No.1

aqfeplus

誤解を恐れず言えば、この状態から質問者さんの通り<明らかに違う>となります。
正しい表現をすると、「一般に異なる」です。

例えばa=1、b=0という特殊な条件下では、sin(a*x1+b*x2)とa*sin(x1)+b*sin(x2)は同じとなるけれども、こういった特殊な組み合わせで無い限り同じにならないということが「一般に異なる」となります。

こういったsinのような関数は高校中盤からどしどし出てきます（他にはlogとか、exp(x)（eのx乗)とか）ので、注意してくださいね。

お礼

なるほど、＝が成り立つ場合というのもあったんですね。
ありがとうございます。助かりました。