- ベストアンサー
相加相乗平均の証明がわかりません
(問)a>0,b>0の時、(a+b)(1／a＋4／a)を証明せよ。 (証明) 左辺＝1＋4a／b＋b／a+4 ＝5＋4a／b＋b／a ここで、相加相乗平均より 4a／b＋b／a≧2√4a／b×b／a＝4 よって、(a+b)(1／a＋4／a)≧9 等号成立はa=bかつ1／a＝4／a つまり、2a=b 『つまり、2a=b』 の部分で1／a＝4／aの計算で両辺にabをかけて計算すると答えが b=4aになってしまい答えと異なってしまいます。 等号成立のとこから間違ってしまっているのか、単なる計算ミスなのかがわかりません。 回答の方をよろしくお願い致します。
- ojiyasan
- お礼率3% (2/66)
- 数学・算数
- 回答数4
- ありがとう数3
- みんなの回答 （4）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
計算から察するに、問題は、「a>0,b>0のとき、(a+b)(1/a + 4/b)≧9を証明せよ」ですよね。 そして、等号成立は、相加相乗平均の等号成立条件から、4a／b = b／a ですよね。 質問の部分の「 『つまり、2a=b』 の部分で1／a＝4／aの計算で両辺にabをかけて計算すると答えが b=4aになってしまい答えと異なってしまいます。」の部分がどこか計算ミスをされているのだと思います。 ちなみに、2a=b という等号成立条件は、どのような計算で出たのでしょうか。。。 本命題の等号成立条件 4a／b = b／a の両辺に ab を掛けると、4a^2 = b^2 となり、a>0,b>0 だから、2a=bとなりますが、2a = b は別の解法で導出したのでしょうか。。。 記号を使った証明の検算としては、具体的な数値を入れてみるという手があります。 たとえば、 a=1,b= a=1 のときは、左辺＝(1+1)(1+4)=10>9 等号成立しない。 a=1,b=2a=2 のときは、左辺= (1+2)(1+2)=9 等号成立！！ a=1,b=4a=4 のときは、左辺= (1+4)(1+1)=10>9 等号成立しない。 という検算をやってみて、 2a=bという条件が等号成立の条件として正しそうで、 a=bや4a=bという条件では、等号が成立しない、すなわち、a=bや4a=bという条件を導出する過程でどこか勘違いや計算ミスを犯しているということになり、その導出過程を徹底的に洗い出すことになります。 （これは、等号成立の条件の証明ではなく、あくまで検算です。） 記号を使った証明問題は、一般的な証明を行った後で、具体的な数値を入れて正しいかどうかを検算するクセをつけておくといいと思います。
その他の回答 (3)
＞＞ここで、相加相乗平均より 4a／b＋b／a≧2√4a／b×b／a＝4 なわけですから、 等号成立は4a／b＝b／aのときです。 両辺ab倍すると、4a^2＝b^2 つまり (2a)^2＝b^2 になります ここでa>0,b>0の条件から2a＝bといえます。 http://image.blog.livedoor.jp/enjoy_math/imgs/f/b/fbf75b9e.bmp
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
＞a>0,b>0の時、(a+b)(1／a＋4／a)を証明せよ。 正しくは、a>0,b>0の時、(a+b)(1/a＋4/b)≧9 を証明せよ。だろう。 質問者の誤りは、 ＞等号成立はa=bかつ1／a＝4／a（これは、多分1/a＝4/bの間違いだろう） a=bはどこから来たの？ 等号は、b/a＝4a/bだが、a>0,b>0から2a=b。
何を証明するのですか
関連するQ&A
- 相加・相乗平均は最小値を示すのでしょうか？
相加相乗平均の証明なのですが、高等学校の教科書には a>=0, b>=0の時、(a+b)^2>=(2√ab)^2で 左辺－右辺＝a^2+2ab+b^2-4ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2>=0 と証明が書かれています。等号が成り立つのはa=bとなっています。 でも、相加相乗平均が最小値になるとはいえないと思うんですよ。 例えば (a+b)^2>=(√2ab)^2とします。 左辺－右辺＝a^2+2ab+b^2-2ab=a^2+b^2>=0となり a+b>=√2abということも言えます。等号条件はa=b=0となります 。2√ab>√2abですから相加相乗平均が最小値には思えません。 しかし、2^X+2^(-X)の最小値を求めようとした時。相加相乗平均では2以上になりますが、先ほどの方法では√2以上になります。 ただし、2^Xも2^(-X)も0にはなりませんし、等号条件も成り立ちませんので先ほどの方法では間違っていると思えるのですが、根拠がわかりません。分かる方がいたら是非教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 相加平均・相乗平均の問題
こんばんは～。相加平均相乗平均の問題です。 a＞０、ｂ＞０のとき、次の不等式を証明せよ。 また、等号が成り立つ場合を調べよ。 a+2/a ≧ 2√2 この問題の左辺≧右辺という証明まではできたんですが、 等号が成り立つ場合の証明ができませんでした。 参考書には a=2/aより √２となる。 と書いてありました。 この問題は不等号を等号に変えるだけで解けるはずなのに、 つまりa+2/a ＝ 2√2と等号に変えるだけでいいはずです。 でも、参考書の説明はいきなりa=2/aとなっているのですが、 これはどういうことなのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 相加相乗平均について
今学校で相加相乗について習っているのですが ３文字の相加相乗で x+y+z≧3(xyz)^(1/3)となるのは解るのですが x+y+zをまず x+yで相加相乗を使い、2(xy)^(1/2)とし、 さらに2(xy)^(1/2)とzでもう一回相加相乗をつかって 2( 2(xy)^(1/2)*z )^(1/2) とするのは間違いなのでしょうか？ x+y+z≧3(xyz)^(1/3)では等号はx=y=z x+y+z≧2( 2(xy)^(1/2)*z )^(1/2)では等号はx=y=2zとなってしまいます。 授業では４文字の相加相乗平均a+b+c+dをa+b c+dと分け ２文字の相加相乗を三回使い証明していましたが三文字の場合では違うのでしょうか 自分でいろいろ考えたのですが、よく解りません。 どなたかわかる方宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 相加・相乗平均を使う不等式
相加相乗平均を使う不等式の問題で分からないものがあります。 a,b,c,dは全て正の数として ＊(a+2/b)(2b+1/a)≧9 を証明する問題では、左辺を展開した後に相加相乗平均を使って証明をしてますよね。 ですが ＊(a+2b)(2c+d)≧8√abcd のときには a+2b≧2√2ab 2c+d≧2√2cd を証明して二つをかけ合わせますよね？ このとき方の違いはどうしてでしょうか？ 上の問題の方では、下のようなとき方をしてはいけないと習った気がするのですが・・・・
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 相加相乗平均等号成立について
相加相乗平均で(a+b)/2≧√(ab)で、等号成立がa=bではないような時の条件はどのようなときですか？ たとえば a=√{2(s+1)^2+9} b=√{(2s^2+1} の時、a+bが、最小になるときのsを求めると、 s=-1/4の時最小で、a+b=3√2 一方、相加相乗平均を使ってa=bの時、即ちs=-5/2となり、a+b=3√6となり最小ではありません・・・。
- 締切済み
- 数学・算数
- 不等式の証明 相加平均 相乗平均
ab>0のとき(a+1/b)(b+1/a)≧4を証明 この問題の解き方を教えてください。 相加平均相乗平均がいまいちわかってないので詳しくしてくれると助かります^^;
- 締切済み
- 数学・算数
- 相加平均、相乗平均
a,bがa>0,ｂ＞０,(1/a)＋(1/b)=1を満たすとき、{(a＾2)＋1}*{(b＾2)＋1}の最小値を求めよ。 また、そのときのa,bの値を求める問題で （1/a)＋(1/b)=1 a＋b=ab …(1) {(a＾2)＋1}*{(b＾2)＋1} ={(ab)＾2}＋{(a＋b)＾2}-2ab＋1 …(1)を代入して 2{(ab)＾2}-2ab＋1 ab=xとおくと ２（ｘ－(1/2)＾2 ＋(1/2) Xにabを代入して ２（ab-(1/2))＾2 ＋1/2 最小値を求めるから 相加平均、相乗平均が使えそうな感じがします。 a＋b≧2√ab より 1/a＋1/b≧2√（1/a)(1/b) ab≧4 になりました。 ここまでわかりました。 等号成立は a=b なので代入して 1/a=1/b このあとどのように考えるかわかりません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 相加平均、相乗平均を使う問題。。
両端が放物線y=x^2の上にある線分ＡＢの中点をＰとする。 点Ａ、Ｂのx座標をそれぞれ、a,bとし、Ｐの座標を（p,q)とする。 （１）～（３）は問題のみ書きます。 （１）pおよびqを、aとbを用いて表せ。 （２）積abを、pとqを用いて表せ。 （３）線分ＡＢの長さが４であるときqをpの式で表せ （４）線分ＡＢが長さを４に保って動くとき、qの最小値と、そのときのpの値を求めよ。 という相加平均・相乗平均の関係を使って答えを出す 問題なんですが、どうして、この関係を使って解くか いまいちわかりません。教えてください！！ （４）のことです。 ちなみに答えは、 p^2+1/4>0であるから、相加・相乗平均の関係を用いて、 q=1/(p^2+1/4) +p^2+1/4-1/4 ≧2-1/4 =7/4 等号成立は、p^2+1/4=1つまりp=±√3/2のときである。 したがって、qの最小値は 7/4(p=±√3/2のとき） です。よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 相加相乗平均を使った不等式の証明
a,b,c,d≧0、のとき (a+b+c+d)/4≧4√abcd ←(4√は4乗根です) 等号はa=b=c=dのとき の証明で、相加相乗平均を使うと思うんですが、どぅやって使えばいいのかわかりません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
詳しく説明して頂きありがとうございました。 とてもよくわかりました。