どう考えればいいのでしょう

質問

「半径rの円筒形タンクは深さhまで液体で満たされている。このタンクを軸周りに回転するとき、遠心力はその液体をタンクの中心から外側に推しやる傾向がある。角速度ωを持つ一様な回転の定常的な状態のもとで、液体の自由表面が円筒の軸を通る平面と交わってできる曲線の方程式を求めよ。ただし、このタンクは十分に深く、従って液体はそのふちから溢れてこぼれないものとする」
上の問題をどう解けばいいのか分かりません。どなたか回答お願いします。

回答No.1

noname#70519

液体の密度をρとすると、中心軸から s だけ離れた場所における
円筒座標で表される微小部分、半径方向 s～s+ds、円周方向
θ～θ+dθ、高さ方向 t～t+dt に働く遠心力は
F_h=ρ・{ds・(s・dθ)・dt}・s・ω^2

重力は
F_v=-ρ・{ds・(s・dθ)・dt}・g

F_h は半径方向、中心軸から離れる向き（s の増す向き）に働き
F_v は垂直方向、下方（t の減る向き）に働く。

従って、その合力の方向が、水平方向から下方へφの角度に
向いているとすると、
tan(-φ)=F_v/F_h=-g/(s・ω^2)

一方、これらの力を受ける面は、この力の働く方向を法線方向
とする面であるので、(π/2)+(-φ) の角度に向いている。

これが面のなす接線の勾配であるので、水面の作る曲線の式を
f(s) とすると
df(s)/ds=tan{(π/2)+(-φ)}=cot(-φ)=-1/tanφ

∴　df(s)/ds=(s・ω^2)/g

∫df(s)=∫{(s・ω^2)/g}ds
f(s)=(1/2)・(ω^2/g)・s^2+C
s=0 における f(s)、つまり、f(0)=h_0 とすると
C=h_0

∴　f(s)=(1/2)・(ω^2/g)・s^2+h_0

回転前後の溶液の体積は変わらないので

πr^2・h=∫[0→r]∫[0→2π]{f(s)・ds・(s・dθ)}=2π・∫[0→r]{f(s)・s・ds}

∫[0→r]{f(s)・s・ds}=(1/2)・∫[0→r][(ω^2/g)・s^3+2・h_0・s]
=(1/2)・(1/4)・(ω^2/g)・r^4+(1/2)・h_0・r^2

πr^2・h=2π・(1/2)・(1/4)・(ω^2/g)・r^4+2π・(1/2)・h_0・r^2
h=(1/4)・(ω^2/g)・r^2+h_0

h_0=h-(1/4)・(ω^2/g)・r^2

∴　f(s)=(1/2)・(ω^2/g)・s^2+h_0
=(1/2)・(ω^2/g)・s^2+h-(1/4)・(ω^2/g)・r^2
=h-(1/4)・(ω/g)・(r^2-2・s^2)

f(s)=h-(1/4)・(ω/g)・(r^2-2・s^2)