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マルコフ連鎖の問題
マルコフ連鎖に関する問題が分からなく困っています。 状態空間 S={1,2,3} で推移確率行列 ｜1/4 1/2 1/4｜ Ｐ＝｜2/5 1/5 2/5｜ ｜1/3 1/3 1/3｜ をもつ定常なマルコフ連鎖{Xn}に対して次の問いに答えよ。 (1)確率P( X2=2,X3=1 | X0=3,X1=2 )を求めよ (2)確率P( X2=1 | X0=1 )を求めよ。 (3)lim【n→∞】P( Xn=2 | X=1 )を求めよ。 (1)のみ解答の目処が立っています。 まず(2)がよく分からないので、苦し紛れに状態遷移図を書いて考えてみたところ、(1/4)*(1/4)+(1/2)*(2/5)+(1/4)*(1/3)となるかなと考えてみたのですがどうでしょうか？ (3)についてはどう解いていったらいいのか分かりません。 よろしくお願いします。
- nicole333
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- fef
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Markov連鎖における遷移行列の使い方を復習しましょう． 時刻 n で状態 i をもつ確率を q_i(n) と書くことにして， 第 i 列が q_i(n) である行ベクトル q(n) を構成します． Markov連鎖の場合，遷移行列とよばれる行列 P を用いて， q(n + 1) = q(n) P と書けるのでしたね． 問題の(2)では，時刻 0 において確率 1 で状態 1 となっています． つまり， q(0) = [1 0 0] です． よって，時刻 2 において各状態にある確率は q(2) = q(1) P = (q(0) P) P = [83/240 37/120 83/240] と計算できます． 結局，今回，時刻 n において各状態にある確率は q(n) = q(0) P^n となるようです． この主張を数学的帰納法によって証明し，(3)で使います．
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