二重根号を含む漸化式について

質問

a[n+1]=a[n]/√{2+√(4-a[n]^2 )}

の漸化式の解き方はどのようにすればいいのでしょうか。
この式は半径１の円に内接する正6×2^n角形の一辺の長さをa[n]としたときのものです。

どうか教えて下さい。

回答No.2

rabbit_cat · ベストアンサー

よく考えると、
＞この式は半径１の円に内接する正6×2^n角形の一辺の長さをa[n]としたときのものです。
が正しいのなら、
半径１の円に内接する正ｍ角形の１辺の長さは、
2sin(π/m)
と表わせますから、
a[n] = 2sin(π/(6×2^n))
て解けますね。ただし、a[0] = 1

さらによく考えると、
a[n+1]=a[n]/√{2+√(4-a[n]^2 )}
は、変形すると
a[n+1] = √{2-√(4-a[n]^2 )}
になりますから、一般項は、発見的に、
a[n] = √(2 - √(2 + √(2 + … √(2 + √(4-a[0]))…)))
て解けますね。右辺は、√記号が全部でn+1個あります。

お礼

丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.3

orcus0930

とりあえず、両辺を2乗してみましょう。
a[n+1]^2 = a[n]^2/(2+√(4-a[n]^2))　…(＊)

4-a[n]^2=b[n]^2と置いてみましょう。(b[n]>0とできると思います)
4-a[n+1]^2=b[n+1]^2　であり
a[n]^2=4-b[n]^2　となるので、(＊)は
4-b[n+1]^2=(4-b[n]^2)/(2+b[n])
右辺は
(4-b[n]^2)/(2+b[n])=(2-b[n])(2+b[n])/(2+b[n])=2-b[n]
とできるので、
4-b[n+1]^2=2-b[n]
b[n]^2=b[n]+2

ここまではできました。あとは挫折しました。
n→∞ではb[n]は2に収束しそうな感じなので、
a[n]が0に収束してるから変形はあってる気がしますが、
一般項は出せませんでした。

たぶん一般項をnの式で表わすのは不可能だと思います

お礼

丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.1

rabbit_cat

ほぼ間違いなく解けないと思います。

与えられた漸化式が解ける（一般項が陽に表わせる）なんていうのは、ものすごくまれな場合だけです。学校では、そのまれな例だけを習うので、漸化式は解けるものだ、と思いがちなんですが。

お礼

回答ありがとうございました。