すごく特殊な漸化式、一見解けそうにも無いけど解けるもの

質問

僕は、高校の数学にたずさわるものです。
長年、高校数学をやっていると、たとえば、普通の漸化式などは、見ていて飽きてきます。
そこで、アンケート的で申し訳ないですが、表題のような漸化式と、その解法を紹介していただけないでしょうか。
できるかぎり珍しいものが好みです。
僕のほうから、例を一つ。

a_(n+1)=2(a_n)^2-1 , a_1=c (ただし、-1≦c≦1)

（解法）
a_n=cos b_n
とおくと、
cos b_(n+1)=2(cos b_n)^2-1=cos 2b_n (２倍角より)
よって、
a_n=cos b_n
=cos 2b_(n-1)
=……=cos {b_1*2^(n-1)}
ただし、cos b_1=cよりb_1=arccos c

ただ、初項を区間(1,∞)に変化させればどうなるとか、漸化式の係数を変化させればどうなるかとかは、わかりませんので、それについてもアイデアがありましたら、教えていただきたいです。

回答No.2

nakaizu · ベストアンサー

cos または cosh の倍角の公式に因むものはいくつか作ることが出来ます。
たとえば
a_(n+1)=(a_n)^2-2a_n
はa_n=cos b_n+1 と置けば同様に倍角の公式に導けます。
また、
a_(n+1)=p(a_n)^2-2/p
は a_=2/p cos b_nとすれば同じ様にできます。
しかし、二次の漸化式の解がすべて同じ様にとけるかといえばそうではありません。
a_(n+1)=(a_n)^2-2a_n+2
などは a_n=exp(b_n)+1 と置けばb_nが公比2の等比数列であることが出て来ます。
こういったものは解から漸化式を作ったので、一般的には解を簡単に表わせません。

タンジェントの倍角の公式からも変わった漸化式が作れます。

解き難いわけではありませんが
a_(n+1)=1+1/a_n, a_1=1
などは面白い性質を持っています。
a_nは分数となるのでその既約分数をp_n/q_nとするとp_nもq_nもフィボナッチ数列となります。(一つずれていますが)
当前のことながら連分数と関係があります。

お礼

ありがとうございます。

>a_(n+1)=(a_n)^2-2a_n+2
などは a_n=exp(b_n)+1 と置けばb_nが公比2の等比数列であることが出て来ます。

その漸化式は解ける、のですよね。

一般に、
a_(n+1)=(a_nに関する２次多項式)型の漸化式は、
a_n=p*b_n + q
とおき、p,qを調整して、
b_(n+1)=2(b_n)^2-1(倍角型)になれば、
b_n=cos c_n または b_n=cosh c_n
とおくことで等比数列になり解ける。
b_(n+1)=(b_n)^2(指数型)になれば、
b_n=e^(c_n)
とおくことで等比数列になり解ける。
そのような結果になりそうですね。
2次をm次に変えても、同様と思います。

a_(n+1)=1+1/a_nなども教えていただき、ありがとうございました。

回答No.3

ryn

珍しいかどうかの境目がわからないですが，
4項間漸化式などはどうでしょう．

係数によっては難しくなりますが，
　a_(n+3) = 2*a_(n+2) + a_(n+1) - 2(a_n)
くらいだと解きやすいです．

高校数学から離れてながいので忘れてしまいましたが，
「(1+√2)^2 = (a_n) + (b_n)√2 となる a_n, b_n を求めよ．」
などの連立漸化式は当たり前すぎですか？

あとは昔に答えた
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1003135
を思い出したのですが，
　a_(n+1) = p*a_n + q*b_n
　b_(n+1) = r*a_n + s*b_n
において 2×2行列（p,q;r,s）の
固有ベクトルを少し難しい数値にすれば
高校生にとっては変形しにくい問題になるのかな？

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1003135

回答No.1

Tacosan

後半だけ:
初項を (1, ∞) の範囲にするんだったら双曲線関数 cosh かな? 複素数使っても同じだけど.
cosh x = (e^x + e^(-x))/2 なので
cosh 2x = (e^(2x) + e^(-2x))/2 = 2 [(e^x + e^(-x))/2]^2 - 1 = 2 cosh^2 x - 1.

お礼

ありがとうございます。

一般に、
a_(n+1)=(a_nに関する２次多項式)型の漸化式は、
a_n=p*b_n + q
とおき、p,qを調整して、
b_(n+1)=2(b_n)^2-1(倍角型)になれば、
b_n=cos c_n または b_n=cosh c_n
とおくことで等比数列になり解ける。
b_(n+1)=(b_n)^2(指数型)になれば、
b_n=e^(c_n)
とおくことで等比数列になり解ける。
そのような結果になりそうですね。
2次をm次に変えても、同様と思います。

ありがとうございました。