畳込み積分について

質問

畳込み積分で分からないところがあります。
例えば、次のような関数があるとします。
f(x)=Bx^2 (x<x1)
Cx (x1≦x≦x2)
Dx^2+Ex (x2<x≦x3)
Nx^2 (x>x3)

要は、xの領域毎に関数式が異なるような場合です。
この式に、次のような式を畳込みするとします。
g(x)=K*e^(-x^2/3)
畳込みの式が次のように表されます。
h(x)=∫f(x)g(t-x)dt（積分範囲は　-∞～∞　です）

このとき、式を分解すると
h(x)=∫(Bx^2)*g(t-x)dt (x<x1,積分範囲 -∞～x1)
∫(Cx)*g(t-x)dt (x1≦x≦x2,積分範囲 x1～x2)
∫(Dx^2+Ex)*g(t-x)dt (x2<x≦x3,積分範囲 x2～x3)
∫(Nx^2)*g(t-x)dt (x>x3,積分範囲 x3～∞)
でいいんでしょうか？一番聞きたいのは積分範囲は
領域毎に上記のようにするんでしょうか？
それとも積分範囲は、xの領域に関わらずに全て
-∞～∞に統一して計算するんでしょうか？

回答No.1

info22 · ベストアンサー

> h(x)=∫f(x)g(t-x)dt（積分範囲は　-∞～∞　です）
定義式が間違っていませんか？
参考URLをご覧下さい。
正しい定義は次式です。
h(x)=∫[-∞～∞] f(t)g(x-t)dt

h(x)= ∫[-∞～x1](Bt)*g(x-t)dt
+∫[x1～x2](Ct)*g(x-t)dt
+∫[x2～x3](Dt^2+Et)*g(x-t)dt
+∫[x3～∞](Nt^2)*g(x-t)dt
となります。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%95%B3%E3%81%BF%E8%BE%BC%E3%81%BF

補足

ご回答ありがとうございます。
すいません。定義式間違ってましたね。ご指摘されて気づきました。
それぞれの領域で積分して全て足せばいいんですね。

そこで、また新たに分からないことが出てきまして、上記の計算をMaximaで計算したいのですが。
畳込みは逆フーリエ変換で求まるのは知っていて、
h(x)=InverseFourier[Fourier[f(t)]*Fourier[g(t)]]だと思いますが、
この記述がMaximaでどうしたら良いかわかりません。
load(fft); で読み込むのは知っています。
新たに質問を立てたほうが良いですかね～？

回答No.3

info22

#1です。
MaximaでFFTは使ったことが無いので新たに質問して頂いた方がいいでしょう。

A#1の積分を積分変数tでそのまま実行した結果を以下に書きます。
(BK/2){x*√(3π)-3*exp(-(1/3)*(x-x1)^2)-x*√(3π)*erf((1/3)*(x-x1)*√3)}
+CK[(3/2)*{exp(-(1/3)*(x-x1)^2)-exp(-(1/3)*(x-x2)^2)}
+(1/2)*x*√(3π)*{erf((1/3)*(x-x1)*√3)-erf((1/3)*(x-x2)*√3)}]
+K[(3D/2){(x+x2)*exp(-(1/3)*(x-x2)^2)-(x+x3)*exp(-(1/3)*(x-x3)^2)}
+(3E/2){exp(-(1/3)*(x-x2)^2)-exp(-(1/3)*(x-x3)^2)}
+(√(3π)/4)(2Dx^2+2Ex+3D)*{erf((1/3)*(x-x2)*√3)-erf((1/3)*(x-x3)*√3)}]
+NK[(3/2)*(x+x3)*exp(-(1/3)*(x-x3)^2)
+(√(3π)/4)*(2x^2+3)*erf((1/3)*(x-x3)*√3)+(2x^2+3)*√(3π)/4]

ここで、erf(x)は誤差関数です。
http://en.wikipedia.org/wiki/Error_function

参考URL：

http://mathworld.wolfram.com/Erf.html

お礼

このたびはとても参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.2

pascal3141

貴方の考えどおりでいいです。