直線の方程式を求める

質問

次の問題でちょっとすっきりしないところがあります。

問題
　y=2x^2-1─(1)とx=2y^2-1─(2) の交点を第1象限かそれぞれA,B,C,D　とする。このとき直線BDの直線の方程式を求めよ。

解答
　(1)－(2)より
　　y－x=2(x^2－y^2)
2(x＋y)(x－y)＋(x－y)=0
(x－y)(x＋y＋1/2)=0─(3)
　　点B,Dはy=x上にはないので求める方程式は x＋y＋1/2=0である。

最後の(3)が直線ACと直線BDを表しているのは図を書けば分かるんですが、何故(1)と(2)の差をとると直線ACと直線BDの式がでてきたんでしょうか？こういう結果が出るのは差をとる前から予想できたんでしょうか？また、直線ABと直線CD、直線ADと直線BCの様に他の式が出る可能性はなかったんでしょうか？（日本語が変ですいません^^;）　よろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.4

htms42 · ベストアンサー

ｘｙ平面上でｙ＝ｘに関して対称ということについて考えて見ます。

(1)（２，３）と（３，２）はｙ＝ｘに関して対称の位置にあります。
(2)一般に（ａ，ｂ）と（ｂ，ａ）はｙ＝ｘに関して対称の位置にあります。（ａ，ｂ）と（ｂ，ａ）をつなぐ直線はｙ＝ｘと直交します。
(3)ｙ＝ｘに関して対称な図形はｙ＝ｘに関して対称な点の集まりです。ｆ（ｘ，ｙ）＝０とｇ（ｘ，ｙ）＝０で表される２つの図形がｙ＝ｘについて対称になっていればｇ（ｘ、ｙ）＝ｆ（ｙ、ｘ）になっています。・・・質問文の中の式(1)、(2)はこの関係を満たします。
(4)ｆ＝０とｇ＝０がｙ＝ｘについて対称であって、「交点を持つ」時、ｆ＝０は直線ｙ＝ｘと交点を持ちます。この交点はｇ＝０とｙ＝ｘの交点と同じ点です。
(5)ｙ＝ｘ上にある点以外の交点がある場合、その点はｙ＝ｘに関して対称の位置にあるはずです。対称な位置にある点を結ぶ直線はｙ＝ｘに直交しますから勾配がー１です。これを表す式はｘ＋ｙ＝ｋです。
(6)ｆ＝０とｇ＝０とが交点を持つ場合、交点はｆ＝ｇを満たします。(4)からこの式は因数（ｘ－ｙ）を必ず含むことが分かります。
(5)からｙ＝ｘ上以外にある交点を持つ場合は因数（ｘ＋ｙ－ｋ）を必ず含みます。

注意：
ｙ＝ｘについて対称な図形が交点を持つとは限りません。
そのときは(4)～(6)は意味を持ちません。

これはいきなりｆ＝ｇと置いてはダメだということです。
質問文の中の2つの式を
ｙ＝２ｘ^2＋１・・・(1')
ｘ＝２ｙ^2＋１・・・(2')
(1')－(2')は　(ｘ－ｙ)(ｘ＋ｙ＋1/2)＝０となって(3)と同じ式がでてきます。ここからｘ＝ｙ，ｘ＋ｙ＋1/2＝０と出して答だとするとおかしいことが分かりますね。
(1')、(2')は交点を持ちません。この2つの式は意味をもちません。
ｘ＝２ｙ^2＋１　は虚数解です。
でも同じ式がでてくるのです。
御質問の場合は交点を持つということが分かっているのでｆ＝ｇとおいた式が意味を持ちました。性質の(５)(６)がでてきました。

お礼

交点を持つことが、まず前提になっていたんですね。
(1')-(2')が同じ式になるけど、意味を持たないというのは、すごいなぁ～と思いました。
ありがとうございました m(_ _)m

回答No.3

take_5

問題文は予想通りだった。。。。。笑

(1)と(2)を見ると、直ぐにy＝xに関して対称である事が分る。
つまり、(1)と(2)の交点を通る直線の１つは、y＝xである事を意味している。
従って、(1)－(2)で交点を計算すると、直線ACと直線BDが出てくる。直線ACがy＝xであるから、直線BDは　x＋y＋1/2＝0となる。
それだけの事だよ。

お礼

なるほど・・　対称であることを式していませんでした。
ありがとうございました m(_ _)m

回答No.2

masa-det

こんにちは、ka-eruさん。
質問拝見しました。
難しく考えていません？

問題文に、『─(1)と─(2) の"交点"を・・・』と書いてありますよね。
よって、単純に
「題意より、(1)=(2)⇒(1)-(2)=0」で良いのでは・・・？

回答No.1

take_5

こんな問題文じゃ分らない。
正しく書いて下さい。

問題文の想像が正しければ、答は簡単な事です。

補足

すいませんでした。訂正します。

問題
　y=2x^2-1─(1)とx=2y^2-1─(2) の第1象限から第４象限の交点を順にA,B,C,D　とする。このとき直線BDの方程式を求めよ。