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測地線の方程式の考え方
一般相対論で測地線の方程式がありますが、 どのような座標系でも「２点間を真っ直ぐに」結んだ 線を表す式であることはわかったつもりですが、 座標変換というものを考えたときに、 測地線の方程式が表す線は、 座標変換後の測地線の方程式が表す線に そのままなってしまうということなのでしょうか？ もしそうだとしたら、なぜそのようなことがいえる のでしょうか？
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はい、そうです。確かに、座標変換をしたとき、測地線の方程式が表す線は、座標変換後の測地線の方程式が表す線に、そのままなります。 このことは、実際に座標変換をしてみてば、すぐに分かることです。測地線の方程式で、反変ベクトルｘ^μを座標変換して(x')^νとしたとき、測地線の方程式はどのような変更をうけるかは簡単に計算できますね。もとの方程式のアフィン接続Γが座標変換後の新しいアフィン接続Γ’になります。しかも得られた方程式は、新しい座標系での測地線の方程式になっていますね。確認して下さい。 でも、アフィン接続Γはテンソルではありませんが、測地線の方程式の左辺はテンソルですから、計算しなくても最初から明らかなことですよね。
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お礼
どうもありがとうございます！ これで教科書の説明がようやく理解できそうです。 早速計算して確かめて見たいと思います。 Γはテンソルじゃないので、もし考えが違っていて 計算ではまったらどうしようと躊躇していました(^^; ありがとうございました！