図形問題がわかりません

質問

「△ABCはAB+BC=9, cosA=3/5をみたしながら形を変えるものとする。このときBCの長さが最小になるとき、そのBCの値と△ABCの面積を求めよ。」という問題です。

ちょっとやってみたのですが、手詰まりになりました。
a+c=9・・・(1)
a^2=b^2+c^2 -6/5bc・・・(2)
だから、cについて解いた(1)を(2)に代入すると
(9-c)^2=b^2+c^2 - 6/5bcとなりますよね？
ここからどうすればいいのかわかりません。
それと、bとcって独立なんですか？よくわかりません。

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

ん～。難しいですね。
#1さんのいうように微分するのも1つの手ですが、bの範囲が分からなければいけないんですよね。よく考えてみると変数がa、b、cの3つで式が2つでは解けないですよね。

AB+BC=9(一定)であるから、
BCが最小となる時ABは最大となる。
だから、ABの最大値を求めればいいのは分かりますね。

点Bから直線ACに下ろした垂線の足をHとすると
BH≦BC・・・(3)でなければいけません。
ここで、cosA＝3/5であり、0<∠A<πであるから、sinA>0なので
sinA＝4/5
よって、BH＝AB*sinA＝4/5AB・・・(4)
(3)よりAB+BH≦AB+BC=9なので
AB+BH≦9
(4)より
AB+4/5AB≦9
AB≦5
よって、ABの最大値は5
つまり、BCの最小値は4

この時、AC=3、AC⊥BCとなるから、
△ABC＝1/2AC*BC＝1/2*3*4=6

こんな感じでどうですか?

お礼

お返事感謝です。解答拝見しました。すばらしいですね、あっさり解いていらして感動しました。図形をいろいろやれば解けるんですか。方向が違ってました。
ところで、この問題のポイントはどこにあるのでしょうか？
eatern27様はどういうところに注目されたのでしょうか？
すいません、もし良ければおねがいします。

回答No.6

eatern27

#2+#4。
しばらく、考えて、解けませんでした。で、結局、諦めました。ただ、諦めるのは悲しすぎたので、何か書こうと思いました。で、解き方のヒントになりそうなものと答えを書いていたら、
「BCが最小の時にはABが最大となる」
という事に気が付きました。

ポイントといわれると、たまたま発見しただけなので、難しいのですが、
図形問題では、図形を頑張って書く。
求めたいもの(BCの最小値)を求めるには何を求めれば分かるのかを考える。
最初に考えた解き方が、挫折しそうだったら、別の手段も考えてみる。
この問題に付いていえば、BCが最小の時にはABが最大になる事に気が付くかどうかですね。

＞２変数関数の最大最小だと思ったのですが、違うのでしょうか
(9-c)^2=b^2+c^2 - 6/5bcを2変数関数として見ていいのかは分かりませんが、
この問題はaの最小値を求める問題ですよね。「f(b.c)=・・・」 や「f(a,b)=・・・」の最大、最小を求めた所で意味がないと思います。
だから、a=f(b)と表して、aの最小を求めるかわりにf(b)の最小を求めようと考えるのです。

こんな説明で分かりますか?

お礼

お返事どうもありがとうございました！
とてもわかりやすい説明で、疑問が晴れました。本当に感謝しています。図形問題は気づくのがちょっと難しいですね。まず図形を書いてじっくり考察しなきゃ始まらないですね。参考になりました。２変数関数の方なんですが、自分の考え方がおかしい点がよくわかりました。完全に誤解していました。求める最小値が全然違いましたね（汗）どうもありがとうございました♪～

回答No.5

aki333

No.３で回答したものです。

私はcosA=3/5という条件から直感的に３，４，５という辺の直角三角形を連想しました。Ａの角度を変えないでこの三角形をa+c=9の条件で変形しようとした場合、cの値を今より（5より）大きくすると三角形になりません（点Ｃが決まらない）。
またcの値を小さくすると三角形はできますが、aの値は当然4より大きくなります。

こんなところで解っていただけますか？図に書いてみると数式でなく視覚で解ると思います。

お礼

こんにちは、お返事ありがとうございます。

＞図に書いてみると数式でなく視覚で解ると思います。

おぉ！わかりました！なるほど。何度か試行錯誤した結果、きれいにわかりました。
図から求めるなんてスゴイですね！

どうもありがとうございました！！

回答No.4

eatern27

#2です。
回答には直接関係ないのですが、訂正です。
#2の3行目、「よく考えて・・・解けないですよね」は無視してください。

＞bとcって独立なんですか？
cが決まればbが(2つに)決まるので、独立ではないと思います。

a+c=9・・・(1) 、a^2=b^2+c^2 -6/5bc・・・(2)
この式を使って解けないかと考えたのですが、思い付きませんでした。（というか、諦めたら、#2の解法を思い付いた)
何とかして、bの範囲が求まれば、(1)と(2)から、cを消去して、「a=・・・」の形にして、微分をして、増減表を書けば、aの最小値を求められるはずです。
bの範囲を求める方法として、三角不等式が考えられるのですが、微妙ですね。

お礼

＞何とかして、bの範囲が求まれば、(1)と(2)から、cを消去して、「a=・・・」の形にして、微分をして、増減表を書けば、aの最小値を求められるはずです。

なるほど、お返事どうもありがとうございます。
一瞬(9-c)^2=b^2+c^2 - 6/5bcは２文字あるから２変数関数の最大最小だと思ったのですが、違うのでしょうか？f(b.c)=-(9-c)^2=b^2+c^2 - 6/5bc ということではないのですか？ちょっと混乱してきました。どのように考えれば良いのでしょうか？すいません、よろしくお願いします。

回答No.3

aki333

直感で申し訳ないのですが

ａの範囲は４以上９未満となります。
なぜならｃの範囲が０より大で５以下だから。ｃが５より大きければ三角形にならないですよね。

したがってａの最小値は４でこのとき三角形はａ，ｂ，ｃそれぞれ４，３，５の直角三角形となり面積は６となります。

お礼

お返事どうもありがとうございます。

＞なぜならｃの範囲が０より大で５以下だから。ｃが５より大きければ三角形にならないですよね。

すいません、なぜの範囲が０より大で５以下になるのでしょうか？どこから条件がでてくるのかわかりません。

回答No.1

shota_TK

とりいそぎ．
BCの長さが最小になるようにするんですから，aを消去しちゃダメですよね？
(1)式を使って，(2)式のcを消去すれば，aとbの式になりますから，
これを「a=・・・」の形にして微分すれば求まると思います．
微分はちょっと大変だけど，試してみて下さい．

お礼

お返事ありがとうございます。

＞BCの長さが最小になるようにするんですから，aを消去しちゃダメですよね？

そうですね。仰るとおりだと思います。

＞(1)式を使って，(2)式のcを消去すれば，aとbの式になりますから，
これを「a=・・・」の形にして微分すれば求まると思います．

すいません、数(2)の範囲の微分しか知らないのでどうやればいいのかわかりません。この問題も文系の問題集にのってたので数(2)までの知識で解けるはずなんですが。２文字で微分は聞いたことがありません。。。