トポロジーのコンパクト性

質問

トポロジーにおけるコンパクト性って何ですか？
わからなくて困っています、教えてください。

回答No.6

stomachman · ベストアンサー

三たび、stomachmanです。
「位相」という言い方をした前科のある奴(livermanとしましょう)に議論をふっかけて、stomachmanとlivermanが勝手に「再構成」した「テツガク的用語」としての「位相」の意味。（従って問題の著者や哲学界一般での用法、位相と一致しているとはとても思えません。）「」は全て、比喩的に導入した用語の事です。

　物事や問題やその他、議論の対象を「点」とみなす。だって『問題点』とか言うじゃないか。「点」は単独では意味を持たない。必ずそれに関連する様々な別の「点」があり、沢山の「点」の関連の「網目」の中で相対的に意味が出て来る。だから問題にしている「点」の周りにどんな「網目」を想定しているか、によってその「点」が置かれていると考える「網目」の構造が異なる。
　この「点」が近くにある他の「点」とどんな関連を持っているか、その繋がり方、これを（位相空間からのアナロジーで）「位相」と言ってみる。だから『こういう位相で問題を捉える』という言い方は『他の問題との関連をこのように考える』という意味であり、従って単に『観点』と言い換えて全く差し支えない。
　ある「点」から「遠い」点も「近い」点もある。「近さ」を測る何か「距離」のようなものが考えられる場合もあるだろう。また「点」は必ずしも「離散的」ではない。場合によってはその「点」から微妙にずれた「点」というものが「幾らでも」考えるられるかも知れない。従って「点」と「点」の間に「隙間」がない「稠密な」「網目」というものもアナロジーとして考え、こういった無限の「点」の集まりの「網目」が「総体として自己完結的」であるような、そういう状態を「コンパクト」と言ってみよう。必ずしも単に小さな円盤、というような単純な「構造」をしておらず、もう少し大局的に見ると、あちこちに思いがけない「抜け道」、「トンネル」、「草っ原」（＜なんでやねん）があって、摩訶不思議な「迷路」になって「絡み」合っているだろう。この複雑な構造を持つものを（位相幾何学の多様体のアナロジーとして）問題の「多様体」と言ってみたり、その構造を「トポロジー」と呼んでみる。
　このような「トポロジー」的な用語って、何かを生み出すのであろうか。問題が個別に意味を持っているうちは、系統的に「多様体」を分類出来るわけがない。逆に、もし本当にコンパクト性を示せたら十把一絡げに有限の議論で無限個の「点」を処理してしまえる。それは個別の問題の中身を一切捨象して初めて可能である。問題「点」そのものを論じた議論としては、抽象的すぎる空論、議論のための議論、であり意味がない。しかし全く意義がないかと言うとそうでもなく、むしろ議論の形式の分類をやっている訳で、これは一種の論理学に他ならない。（実はこのへんを本気で数学として扱おうという新興分野として、情報幾何学があります。その中身については不勉強で...ごめんなさい。）
　『君が言っている議論は、ＸＸと全く同じトポロジーを持っている』なんて、『議論の構造が似ている気がする』の意味で言うのが大抵の場合だろう。だけど本当に同型写像（isomorphism）が定義できる場合もないとは限らない。ある一冊の本の用語を全て系統的に書き換えて、（例えば「笑い」「人間」....を「らっきょ」「たらこ」....と書き換えて）それでもし本全体の辻褄が合ってしまえば、両者は同じ「トポロジー」を持っている議論だと言っちゃって良いんじゃないか？従って、議論にまつわる様々なイメージ、背景知識というものを論者と読者が暗に共有していると仮定せずに、問題の「点」にまつわる「網目」全体を主題化して、一切の先入主を断ち切った本がもし書けたとするなら、真に抽象的な議論が可能だ。
　これを実際やっているのが数学で、そこで言う『数学的対象』は未定義のままである。だからこそ現実の問題と対応を付けることによって、現実の『ケーキをどうやって分けるか』なんて問題を数学の中に「同型写像」として写し、そこで問題を解いて、再び現実の『分け方』に戻ってくることができる。（もう少し制限を緩やかにして、かつ現代風に言いいたいなら、圏論の言葉を使って「射」だとか「pull back」だとか言ってみると、きっと相手は韜晦されて目を白黒するぞ。）
　このへんで議論が発散してダウンしました。