トポロジーのコンパクト性

質問

トポロジーにおけるコンパクト性って何ですか？
わからなくて困っています、教えてください。

回答No.3

siegmund

siegmund です．

stomachman さんの回答見て気づきましたが，
質問はトポロジーでもおかしくないですね．
広義のトポロジーだと思えばいいですか(もうボロが出始めています)
普通は単にトポロジーと言うと，狭い意味で「位相幾何学」を指しますけどね．

minorinko さんは哲学の学生さんですか．
いやあ，哲学も集合論まで出てくるとなると大変ですね．
でも，哲学者で数学者という人はかなりいましたか．
すぐ思いつくだけでも，ピタゴラス，プラトン，アリストテレス，
パスカル，デカルト，ライプニッツ，ニュートン，フレーゲ，
ホワイトヘッド，ラッセル，ブローエル，など．
あ，こういうことはそれこそ minorinko さんの方が詳しいですね．
ボロが出ないうちにやめましょう．

普通の３次元空間では，空間の点がその要素になっていて，
点の間の距離が √{(x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 + (z1-z2)^2} で表されます．
１次元空間なら，|x1-x2| が距離ですね．
で，２つの点の間の距離が近いとか，２の点が近づく，などといいますね．
また，点が連続的に分布している，点Ａを点Ｂに近づけた極限，などともいいます．
これを一般の集合に拡張して，集合の構成要素間に「距離みたいなもの」を
与えた構造を「位相」と言っています．

コンパクトは連続性の拡張みたいな概念です．
例えば， Bolzano‐Weierstrass の集積点定理は
「閉区間Ｓの任意の無限部分集合は少なくとも一つの集積点をＳの中に持つ」で
こういう性質をコンパクト性といっています．
他にもコンパクト性の表現の仕方はあります．

普通の１次元空間(数直線)で説明しましょう．
例えば [0,1] の閉区間をＳとします．
(両端の０と１を含んでいることに注意)．
1/n 全体(n = 1,2,3,...)の集合ＡはＳの部分集合で要素は無限個あります．
すなわち，ＡはＳの無限部分集合です．
で，０(ゼロ)はＡの集積点になっています．
集積点とは，粗くいえばＡの要素が０の近くにぎゅうぎゅう詰まっていること．
もう少し正確に言えば，０の任意近傍にＡの要素が存在する，ということ．
で，０はＡの集積点になっているか？ そりゃなっていますよ．
いくら０に近い点ｘ(正の側)をとっておいても，
ｎを十分大きくすれば０とｘの間に 1/n が入ります．
閉集合にして端の０を入れておかないと，集積点がＳに含まれなくなります．

つまり，数直線，平面，３次元空間，などのユークリッド距離空間では，
有界閉集合であることと，コンパクトであることとは同値です．

上の例を，一般の集合と「距離の一般化」に拡張した概念がコンパクト性です．

私のコンパクト性に対する理解は以上のようなものです．
私は物理屋で数学者じゃありませんので，
上の説明にはもしかしたら誤りがあるかも知れません．
数学専門の方，適切なフォローいただければ幸いです．