トポロジーのコンパクト性

質問

トポロジーにおけるコンパクト性って何ですか？
わからなくて困っています、教えてください。

回答No.4

oodaiko

哲学の本ですか。
>哲学の文脈で、断層ほどコンパクトなものはないうんぬん、と
というのがどういう意味かさっぱり分からないのですが、これは哲学の本ですか。
よろしければ原文をもうすこし長めに（文脈が分かる程度に）引用するか、
その文が書かれている本の題名を教えていただけないでしょうか。
もう少し詳しく分かれば著者の意図に沿った内容の回答が出来ると思います。
こんな言い方をすると失礼かも知れないけどそういう哲学系の本の中には、
たぶん著者自身きちんとした数学的定義や意味などわかっておらず、単に感覚的な意味で
（または文章を権威付けたり小難しく見せようとして？）数学の言葉を使っている
ものもあります。

とりあえずトポロジーにおける「コンパクト」の解説をしてみましょう。
以下に書くことは「コンパクト集合」についての解説です。
数学的には正確な記述でないので御了承下さい。

コンパクトと言うのは集合の性質に対する概念で、「コンパクトな位相空間」
「コンパクト集合」などと言う風に使います。
「コンパクトな集合」いう概念を感覚的な言葉で言えば

大きさが有限であり、かつ’中身’だけでなく’皮’をもっている集合

と言う感じでしょうか。
数学の言葉で言えば
「位相空間における有界閉集合」
です。

注：実はこれでも数学的に正確な定義ではありません
コンパクト集合＝有界閉集合
と言う等式は一般の位相空間では成立しません。
しかし、実用的に使われる多くの位相空間では上の等式が成り立つので実質的には
コンパクト集合＝有界閉集合
としておいても構いません。またコンパクトと言う言葉を感覚的に使う人も
そういうイメージでとらえているのだと思います。

「有界集合」とはその集合の中の２つの点の距離の最大値が有限になるような集合です。
また「閉集合」とはその集合の境界と内部を両方とも持っている集合です。
内部だけ持っている集合は「開集合」といいます。
で「有界閉集合」とは「有界集合」であり、かつ「閉集合」であるような集合のことです。

本質は何次元でも同じですので、分かりやすくするため２次元の空間で考えます。
２次元の空間になにか閉じた曲線（閉曲線）を描きます。例えば適当な円か多角形を
書いたと考えて下さい。このときこの書かれた閉曲線の内側の部分と閉曲線自身を
合わせた集合は「有界閉集合」すなわち「コンパクト集合」です。
このような集合は１つである必要はありません。たとえば２つの重ならない閉曲線を
書いて、それらのつくる２つの閉集合を１つの集合とみなした場合でも
その集合はコンパクトであると言えます。一般にはコンパクトな集合を有限個集めて
ひとまとめにした集合もやはりコンパクト集合です。
（ただし無限個集めるとコンパクトにならない場合があります。）

逆に開集合はコンパクトではありません。どんなに小さい円でもその境界部分を
取り除いた中身だけの集合は開集合になるのでこれはコンパクトとは言いません。

実用的にはコンパクト集合の何がありがたいのかと言うと
（１）コンパクト集合から実数への連続関数はかならず最大値と最小値を持つ。
（２）コンパクト集合上の点列はその集合上のある点に収束する部分列を持つ。
という性質でしょう。

で、まとめとしてコンパクト性の本質を感覚的に言えば
「それ自身で閉じた世界を作ることが出来る」
「本質的な有限性をもつ」
という２つのことが挙げられます。

なにやらとりとめのない文章になってしまいましたが、
数学的にきちんとした定義や意味づけなどを理解したい
ということであれば補足要求をして下さい。